Площ на повърхността на права призма: формули и примерна задача

Обемът и повърхността са две важни характеристики на всяко тяло с крайни размери в триизмерното пространство. В тази статия ще разгледаме добре познатия клас полиедри - призми. По-специално, ще бъде разгледан въпросът как да се намери площта на повърхността на призма.

Какво е призма?

Призма е всеки полиедър, ограничен от няколко паралелограма и два еднакви многоъгълника, разположени в успоредни равнини. Тези многоъгълници се смятат за основи на фигурата, а паралелограмите - за нейни страни. Броят на страните (ъглите) на основата определя името на фигурата. Например, на диаграмата по-долу е показана петоъгълна призма.

Разстоянието между основите се нарича височина на квадрата. Ако височината е равна на дължината на някой от страничните ръбове, такава призма е права. Втората достатъчна характеристика на призмата е, че всички нейни страни са правоъгълници или квадрати. Ако поне една от страните е паралелограм с общата форма, това е наклонена фигура. По-долу можете да видите разликата между права призма и наклонена призма с примера на четириъгълник.

Площта на повърхността на правоъгълна призма

Ако една геометрична фигура има n-ъгълна основа, то тя има n+2 страни, от които n са правоъгълници. Означете с a дължините на страните на основата_i, където i = 1,2,...,n, а височината на фигурата, която е равна на дължината на страничните ръбове, означаваме с h. За да определите площта на повърхността (S) на всички повърхности, добавете площта S_o на всяка от основите и всички площи на страните (правоъгълници). По този начин формулата за S може да се запише в общ вид, както следва:

S = 2*S_o + S_b

Където S_b - странична повърхност.

Тъй като основата на призмата може да бъде всеки плосък многоъгълник, не съществува единна формула за формулите на S_o не може да бъде добавена и за да се определи тази стойност, обикновено е необходимо да се извърши геометричен анализ. Например, ако основата е правилен n-ъгълник със страна a, то площта му се изчислява по формулата

S_o = n/4*ctg(pi/n)*a²

Що се отнася до стойността S_b, изразът за неговото изчисляване може да се даде по следния начин. Страничната повърхност на права призма е равна на

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i)

Това означава, че стойността S_b се изчислява като произведение на височината на фигурата и периметъра на основата ѝ.

Пример за решение на даден проблем

Прилагаме тези знания, за да решим следната геометрична задача. Призма, чиято основа е правоъгълен триъгълник със страни под прав ъгъл от 5 cm и 7 cm. Височината на фигурата е 10 cm. Трябва да намерим площта на правоъгълна триъгълна призма.

Първо изчисляваме хипотенузата на триъгълника. Тя ще бъде равна на:

c = √(5² + 7²) = 8,6 cm

Сега ще направим още една подготвителна математическа операция: Нека изчислим периметъра на стъпалото. Ще бъде:

P = 5 + 7 + 8,6 = 20,6 cm

Страничната площ се изчислява като произведение на P, умножено по височината h=10 cm, т.е. S_b = 206 см².

За да намерите площта на цялата повърхност, добавете двете площи на основната плоча към намерената стойност. Тъй като площта на правоъгълен триъгълник се определя от половината от произведението на катетите, получаваме:

2*S_o = 2*5*7/2 = 35 см²

Тогава получаваме, че площта на повърхността на правоъгълна триъгълна призма е 35 + 206 = 241 cm².