Какво е права призма?? Формули за дължината на диагоналите, площта на повърхността и обема

Училищният курс по геометрия е разделен на два големи раздела: планиметрия и стереометрия. Стереометрията изучава пространствените фигури и техните характеристики. В тази статия ще разгледаме какво представлява правата призма и ще дадем формули, описващи нейните свойства, като дължина на диагонала, обем и повърхност.

Какво е призма?

Когато учениците са помолени да дадат определение за призма, те отговарят, че това са два еднакви успоредни многоъгълника, чиито страни са свързани с паралелограми. Това определение е възможно най-общо, тъй като не поставя условия за формата на многоъгълниците, за взаимното им разположение в успоредни равнини. Освен това той предполага свързване на паралелограми, в чийто клас влизат също квадратът, ромбът и правоъгълникът. По-долу можете да видите какво представлява четириъгълната призма.

Виждаме, че призмата е многостен (полиедър), състоящ се от n + 2 страни, 2 × n върха и 3 × n ръба, където n е броят на страните (върховете) на един от многоъгълниците.

Двата многоъгълника се наричат основи на фигурата, а останалите страни са страните на призмата.

Понятие за правоъгълна призма

Съществуват различни призми. Говорим например за правилни и неправилни форми, за триъгълни, петоъгълни и други призми, за изпъкнали и вдлъбнати форми и накрая за наклонени и прави форми. Повече за последните в подробности.

Правата призма е фигура от изследвания клас многостени, всички странични четириъгълници на която сключват прави ъгли. Съществуват само два вида четириъгълници: правоъгълник и квадрат.

Това е важно свойство: височината на една призма е равна на дължината на страничните ѝ ръбове. Обърнете внимание, че всички странични ръбове са равни. Що се отнася до страничните ръбове, те обикновено не са равни помежду си. Равенството е възможно, ако призмата е не само права, но и правилна.

На фигурата по-долу е показана права фигура с петоъгълна основа. Виждате, че всички негови страни са правоъгълници.

Диагонали на призма и нейни линейни параметри

Основните линейни характеристики на всяка призма са нейната височина h и дължините на страните на основата ѝ a_i, където i = 1, ..., n. Ако основата е правилен многоъгълник, за да опишем свойствата му, е достатъчно да знаем дължината a от едната страна. Познаването на отбелязаните линейни параметри ни позволява еднозначно да определим свойствата на фигурата, като например нейния обем или повърхност.

Диагоналите на права призма са отсечките, които свързват всеки два несъседни върха. Тези диагонали могат да бъдат три вида:

• лежащи в равнините на основата;
• разположени в равнините на страничните правоъгълници;
• които принадлежат към обема на фигурата.

Дължините на диагоналите, които се отнасят към основата, трябва да се определят според вида на n-ъгълника.

Диагоналите на страничните правоъгълници се изчисляват по следната формула:

d_1i = √(a_i² + h²).

За да се намерят триизмерните диагонали, е необходимо да се знае дължината на съответния диагонал на основата и височината. Ако някой от диагоналите на основата е обозначен с d_0i, тогава обемният диагонал d_2i се изчислява по следния начин:

d_2i = √(d_0i² + h²).

Например, в случая на правилен четириъгълник на призма дължината на обемния диагонал е равна на

d₂ = √(2 × a² + h²).

Имайте предвид, че права триъгълна призма има само един от трите посочени диагонала: диагоналът на страната.

Повърхността на разглеждания клас фигури

Площта на повърхността е сборът от площите на всички повърхности на фигурата. За да визуализирате всички фасети, направете разширител на призмата. По-долу е даден пример за такова преместване за петоъгълна фигура.

Виждаме, че броят на равнинните фигури е n + 2, като n са правоъгълници. За да изчислите площта на цялото разгъване, съберете площите на двете еднакви основи и площите на всички правоъгълници. Тогава съответната формула ще има следния вид:

S = 2 × S_o + h × ∑_i=1ⁿ (a_i).

От това уравнение се вижда, че площта на страната на въпросната призма е равна на произведението на височината на фигурата и периметъра на основата ѝ.

Базова площ S_o може да се изчисли, като се приложи съответната геометрична формула. Например, ако основата на права призма - правоъгълен триъгълник, тогава получаваме:

S_o = a₁ × a₂ / 2.

Където a₁ и₂ - катетите на триъгълника.

Ако основата е n-ъгълник с равни ъгли и страни, тогава е валидна следната формула

S_o = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Формула за обем

Определянето на обема на всеки вид призма не е трудна задача, ако стойностите на нейната основна площ S_o и височина h. Като умножим тези стойности една с друга, получаваме обема V на фигурата, т.е:

V = S_o × h.

Тъй като в права призма h е равно на дължината на страничния ръб, цялата задача за изчисляване на обема се свежда до изчисляване на площта S_o. Вече казахме няколко думи по-горе и дадохме няколко формули за определяне на S_o. Тук само ще отбележим, че в случай на основа с произволна форма трябва да я разделим на прости сегменти (триъгълници, правоъгълници), да изчислим площта на всеки от тях и след това да съберем всички площи, за да получим S_o.