Как се определя площта на напречното сечение на цилиндър, конус, призма и пирамида? Формули

В практиката често се срещат задачи, които изискват умение за конструиране на разрези на геометрични фигури с различни форми и за намиране на площите на разрезите. В тази статия ще разгледаме как се конструират важните части на призма, пирамида, конус и цилиндър и как да изчислим техните площи.

Обемни данни

От стереометрията е известно, че триизмерна фигура от абсолютно всякакъв тип е ограничена от няколко повърхности. Например за полиедри като призми и пирамиди тези повърхности са многоъгълни страни. За цилиндър и конус вече говорим за повърхностите на въртене на цилиндрични и конични фигури.

Ако вземем равнина и я използваме, за да пресечем произволно повърхността на триизмерната фигура, ще получим сечението. Площта му е равна на площта на частта от равнината, която ще се намира в обема на фигурата. Минималната стойност на тази площ е нула, когато равнината се допира до фигурата. Например сечение, образувано от една точка, се получава, ако равнината минава през върха на пирамида или конус. Максималната стойност на площта на сечението зависи от взаимното положение на фигурата и равнината и от форма и размери на фигурата.

Разгледайте по-долу как да изчислите площите на образуваните сечения за две фигури на въртене (цилиндър и конус) и два многостена (пирамида и призма).

Цилиндър

Цилиндърът е фигура на завъртане на правоъгълник около някоя от страните му. Цилиндърът се характеризира с два линейни параметъра: радиус на основата r и височина h. Схематично по-долу е показано как изглежда прав кръгов цилиндър.

За тази фигура има три важни типа секции:

• кръгли;
• правоъгълна;
• елиптичен.

Елипса се образува, като се пресече страничната повърхност на фигура под ъгъл с нейната основа. Кръгът е резултат от пресичането на секущата равнина на страничната повърхност, успоредна на основата на цилиндъра. Накрая се образува правоъгълният, ако секущата равнина е успоредна на оста на цилиндъра.

Площта на кръгло сечение се изчислява по формулата:

S₁ = pi*r²

Площта на осевото сечение, т.е. правоъгълното сечение, което минава през оста на цилиндъра, се определя по следния начин:

S₂ = 2*r*h

Конусни секции

Конусът е фигура на въртене правоъгълен триъгълник около един от катетите. Конусът има един връх и кръгла основа. Параметрите му също са радиус r и височина h. По-долу е показан пример за конус, изработен от хартия.

Съществуват няколко вида конични сечения. Нека ги изброим:

• кръг;
• елиптичен;
• параболичен;
• хиперболичен;
• триъгълна.

Те се редуват помежду си, като се увеличава ъгълът на секущата равнина спрямо кръглата основа. Най-лесният начин за записване на формулите за площта на кръгово и триъгълно сечение.

Кръговото сечение се образува чрез пресичане на коничната повърхност с равнина, която е успоредна на основата. Следната формула е валидна за неговата площ:

S₁ = pi*r²*z²/h²

Тук z е разстоянието от върха на фигурата до образуваното сечение. Вижда се, че ако z = 0, равнината минава само през върха, така че площта S₁ ще бъде равен на нула. Тъй като z < h, площта на разглеждания участък винаги ще бъде по-малка от стойността му за основата.

Триъгълник се получава, когато равнината пресича фигурата по оста ѝ на въртене. Формата на полученото сечение е равнобедрен триъгълник, чиито страни са диаметърът на основата и двете образувания на конуса. Как се намира площта на напречното сечение на триъгълник? Отговорът на този въпрос е следната формула:

S₂ = r*h

Това равенство се получава, ако приложим формулата за площта на произволен триъгълник чрез дължината на основата му и височината.

Секции на призмата

Призмата е голям клас фигури, които се характеризират с две еднакви многоъгълни основи, успоредни една на друга, свързани с паралелограми. Всяко сечение на призма е многоъгълник. С оглед на разнообразието на разглежданите фигури (наклонени, прави, n-ъгълни, правилни, вдлъбнати призми), разнообразието на техните сечения е голямо. По-нататък ще разгледаме само някои конкретни случаи.

Ако равнината на рязане е успоредна на основата, площта на напречното сечение на призмата е равна на площта на основата.

Ако една равнина минава през геометричните центрове на две основи, т.е. тя е успоредна на страничните ръбове на фигурата, тогава се образува паралелограм в сечението. В случай на прави и правилни призми разглежданото сечение ще бъде правоъгълник.

Пирамида

Пирамидата е друг полиедър, който се състои от n ъгъла и n триъгълника. Пример за триъгълна пирамида е показан по-долу.

Ако разделът се изпълнява успоредна на n-ъгълната основа с равнина, нейната форма ще бъде точно равна на формата на основата. Площта на такъв участък се изчислява по формулата

S₁ = S_o*(h-z)²/h²

Където z е разстоянието от основата до равнината на напречното сечение, S_o - базова площ.

Ако секущата равнина съдържа върха на пирамидата и пресича нейната основа, се получава триъгълно сечение. За да изчислите площта му, трябва да използвате съответната формула за триъгълник.