Формула за обема на призма. Обеми на правилни четириъгълни и шестоъгълни фигури

Призмата е многостен или полиедър, който се изучава в училищния курс по стереометрия. Едно от важните свойства на този полиедър е неговият обем. В статията ще разгледаме как е възможно да се изчисли тази стойност, а също така ще дадем формули за обема на призми - правилни четириъгълни и шестоъгълни.

Призма в стереометрията

Тази фигура се разбира като полиедър, който се състои от два еднакви многоъгълника, разположени в успоредни равнини, и няколко паралелограма. За някои видове призми паралелограмите могат да представляват правоъгълни четириъгълници или квадрати. Пример за т.нар. петоъгълна призма е показан по-долу.

За да построите фигура като тази на фигурата по-горе, трябва да вземете петоъгълник и да го пренесете успоредно на някакво разстояние в пространството. Като съединим страните на два петоъгълника с помощта на паралелограми, получаваме желаната призма.

Всяка призма се състои от лица, върхове и ръбове. Върховете на призмата, за разлика от пирамидата, са равни, като всеки връх принадлежи на една от двете основи. Има два вида ръбове: принадлежащи на основата и принадлежащи на страните.

Призмите могат да бъдат няколко вида (правилни, наклонени, изпъкнали, прави, вдлъбнати). По-нататък в статията ще разгледаме по коя формула се изчислява обемът на призмата, като се вземе предвид формата на фигурата.

Общ израз за обема на призма

Независимо от вида на съответния обект, дали фигурата е права или наклонена, редовно или има универсален израз за определяне на неговия обем. Обемът на пространствена фигура е площта на пространството, която е затворена между нейните стени. Обемът на една призма се изчислява по следния начин:

V = S_o × h.

Тук S_o е площта на основата. Важно е да се отбележи, че базата е само една, а не две. h е височината. Височината на изследвания обект е разстоянието между равните му основи. Ако това разстояние е равно на дължината на страничните ръбове, призмата се нарича права призма. Всички страни на правоъгълна призма са правоъгълници.

Ако призмата е наклонена и има неправилен многоъгълник в основата си, изчисляването на обема ѝ се усложнява. Ако тя е права, изчисляването на обема се ограничава само до определяне на площта на основата S_o.

Определяне на обема на правилна фигура

Правилна призма е всяка призма, която е права и има многоъгълна основа с равни страни и ъгли. Такива правилни многоъгълници са например квадрат и равностранен триъгълник. В същото време ромбът не е правилна фигура, защото не всички ъгли са равни един на друг.

Формулата за обема на правилна призма следва еднозначно от общия израз за V, който беше написан в предишния параграф на статията. Преди да пристъпим към записване на съответната формула, трябва да определим площта на правия ъгъл. Без да навлизаме в подробности, ще дадем формулата за обема. Тя е универсална за всеки правилен n-ъгълник и има следния вид:

S_n = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Както се вижда от израза, площта S_n - е функция на два параметъра. Цялото число n може да приема стойности от 3 до безкрайност. Стойността на a е дължината на една от страните на n-ъгълника.

За да изчислим обема на фигурата, трябва просто да умножим площта S_n към височината h или към дължината на страничния ръб b (h=b). В резултат на това получаваме следната работна формула:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × a² × h.

Обърнете внимание, че за да определим обема на произволна призма, трябва да знаем няколко стойности (дължини на страните на основата, височина, диедрични ъгли); за да изчислим стойността V на правилна призма, трябва да знаем само два линейни параметъра, например a и h.

Обем на правилна четириъгълна призма

Четириъгълна призма се нарича паралелепипед. Ако всички страни са равни и квадратни, това е куб. Всеки ученик знае, че обемът на правоъгълен паралелепипед или куб се определя, като се умножат трите му различни страни (дължина, височина и ширина). Този факт следва от записания общ израз за обем на обикновена фигура:

V = n/4 × ctg (pi / n) × a² × h = 4/4 × ctg ( pi / 4) × a² × h = a² × h.

Тук котангенсът от 45° е 1. Обърнете внимание, че равенството между височината h и дължината на страната на основата a автоматично води до формулата за обема на куба.

Обем на правилна шестоъгълна призма

Сега приложете горната теория, за да определите обема на фигура с шестоъгълна основа. Просто заместете стойността на n=6 във формулата:

V = 6/4 × ctg (pi / 6) × a² × h = 3 × √3/2 × a² × h.

Записаният израз може да се получи самостоятелно, без да се използва универсалната формула за S_n. За да направите това, разделете правоъгълния шестоъгълник на шест равностранни триъгълника. Страната на всяка от тях е равна на a. Площта на един триъгълник отговаря на:

S₃ = √3/4 × a².

Като умножим тази стойност по броя на триъгълниците (6) и височината, получаваме формулата за обема, написана по-горе.