Площ на пресечен конус. Формула и примерна задача

В геометрията на фигурите на въртене се обръща специално внимание при изучаването на техните характеристики и свойства. Един от тях е пресеченият конус. Тази статия има за цел да отговори на въпроса каква формула може да се използва за изчисляване на площта на пресечен конус.

Въпросната форма?

Преди да се опише площта на пресечен конус, трябва да се даде точно геометрично определение на фигурата. Усечен конус е конус, получен чрез отрязване на връх на обикновен конус с равнина. В това определение трябва да се подчертаят няколко нюанса. Първо, равнината на сечението трябва да е успоредна на равнината на основата на конуса. Второ, началната фигура трябва да бъде кръгъл конус. Разбира се, тя може да бъде елиптична, хиперболична и други видове фигури, но в тази статия се ограничаваме да разгледаме само кръглия конус. Последното е показано на фигурата по-долу.

Не е трудно да се досетим, че тя може да се получи не само чрез сечение с равнина, но и чрез операция на завъртане. За да направите това, вземете трапец с два прави ъгъла и го завъртете около страна, която е съседна на тези прави ъгли. В резултат на това основата на трапеца ще се превърне в радиус на основата на пресечения конус, а наклонената страна на трапеца ще образува конична повърхнина.

размерът на фигурата

Като се има предвид площта на повърхността на пресечен конус, е полезно да се даде неговото разгъване, т.е. образът на повърхността на триизмерна фигура в равнината. По-долу е представена схема на изследваната фигура с произволни параметри.

Виждаме, че площта на фигурата се формира от три компонента: две окръжности и една пресечена кръгова отсечка. Очевидно е, че за да определим необходимата площ, трябва да съберем площите на всички споменати фигури. Нека решим този проблем в следващия раздел.

Площ на пресечен конус

За да улесним разбирането на следващите разсъждения, въвеждаме следната нотация:

• r1, r2 са радиусите съответно на голямата и малката основа;
• h е височината на фигурата;
• g - конусен формант (дължина на наклонената страна на трапеца).

Площта на основата на пресечен конус се изчислява лесно. Запишете съответните изрази:

S_o1 = pi*r₁²;

S_o2 = pi*r₂².

По-трудно е да се определи площта на част от кръгова отсечка. Ако си представим, че центърът на този кръгъл сектор не е изрязан, тогава радиусът му ще бъде равен на стойността G. Лесно е да се изчисли, ако разгледаме подобни правоъгълни триъгълници на конуса. То е равно на:

G = r₁*g/(r₁-r₂).

Тогава площта на целия кръгъл сектор, който е построен върху радиус G и който лежи върху дъга с дължина 2*pi*r₁, ще бъде равен на:

S₁ = pi*r₁*G = pi*r₁²*g/(r₁-r₂).

Сега определете площта на малкия кръгъл сектор S₂, да се извади от S₁. То е равно на:

S₂ = pi*r₂*(G - g) = pi*r₂*(r₁*g/(r₁-r₂) - g) = pi*r₂²*g/(r₁-r₂).

Площта на коничната пресечена повърхност S_b е равна на разликата S₁ и S₂. Получаваме:

S_b = S₁ - S₂ = pi*r₁²*g/(r₁-r₂) - pi*r₂²*g/(r₁-r₂) = pi*g*(r₁+r₂).

Въпреки малко тромавите изчисления получихме доста прост израз за страничната повърхност на фигурата.

Като се съберат площите на основите и S_b, е формулата за площта на пресечения конус:

S = S_o1 + S_o2 + S_b = pi*r₁² + pi*r₂² + pi*g*(r₁+r₂).

Следователно, за да изчислим стойността на S на въпросната фигура, трябва да знаем нейните три линейни параметъра.

Примерен проблем

Кръгъл прав конус с радиус 10 cm и височина 15 cm е пресечен с равнина, така че се получава правилен пресечен конус. Като се има предвид, че разстоянието между основите на пресечена фигура е 10 cm, намерете площта на нейната повърхност.

За да използваме формулата за площта на пресечен конус, трябва да намерим три от неговите параметри. Един от тях познаваме:

r₁ = 10 cm.

Другите два са лесни за изчисляване, ако разгледаме подобни правоъгълни триъгълници, които се получават от осевото сечение на конуса. Като се има предвид условието на задачата, получаваме:

r₂ = 10*5/15 = 3,33 cm.

И накрая, водачът на пресечения конус g ще бъде равен на:

g = √(10² + (r₁-r₂)²) = 12,02 cm.

Сега можем да заменим стойностите r₁, r₂ и g във формулата за S:

S = pi*r₁² + pi*r₂² + pi*g*(r₁+r₂) = 851,93 cm².

Търсената площ на фигурата е приблизително 852 cm².