Какво е права призма?? Свойства и формули. Примерен проблем

Изследването на характеристиките на триизмерните геометрични фигури се занимава със стереометрия. Една от добре познатите обемни фигури, които се появяват в геометричните задачи, е правата призма. В тази статия ще разгледаме какво представлява и ще опишем подробно призма с триъгълна основа.

Призма и нейните видове

Призмата се определя като фигура, образувана от успоредното преместване на многоъгълник в пространството. Тази геометрична операция дава фигура, състояща се от няколко паралелограма и два еднакви многоъгълника, успоредни един на друг. Паралелограмите са страните на призма, а многоъгълниците - нейните основи.

Всяка призма има n+2 страни, 3*n ръба и 2*n върха, където n е броят на ъглите или страните на многоъгълната основа. Изображението показва петоъгълна призма, която има 7 страни, 10 върха и 15 ръба.

Разглежданият клас фигури е представен с призми от няколко вида. Нека ги изброим накратко:

• вдлъбнати и изпъкнали;
• наклонени и прави;
• нередовни и редовни.

Всяка фигура принадлежи към един от следните три типа класификации. При решаването на геометрични задачи е най-лесно да се извърши изчисления за Правилни и правилни призми. Последното ще разгледаме по-подробно в следващите параграфи на статията.

Какво е права призма??

Вдлъбната или изпъкнала форма се нарича правоъгълник, Редовно или нередовно Призма, чиито всички страни са четириъгълници с ъгли 90°. Ако поне един от четириъгълниците на страните не е правоъгълник или квадрат, призмата се нарича наклонена призма. Може да се даде и друго определение: права призма е фигура от дадения клас, при която всеки страничен ръб е равен на височината. Височината h на една призма е разстоянието между основите ѝ.

И двете горепосочени определения, че това е права призма, са еднакви и самодостатъчни. От това следва, че всички диедрични ъгли между всяка от основите и всяка от страничните страни са 90°.

По-горе беше казано, че правите фигури са удобни за работа при решаване на задачи. това е така, защото височината е равна на дължината на страничния ръб. Последният факт улеснява изчисляването на обема на фигурата и площта на страничната ѝ повърхност.

Обем на права призма

Обемът е вътрешна стойност на всяка пространствена фигура, която в цифрово изражение представлява частта от пространството, заключена между повърхностите на въпросния обект. Обемът на една призма може да се изчисли по следната обща формула:

V = S_o*h.

Това означава, че произведението на височината по площта на основата ще даде желаната стойност V. Тъй като основите на права призма са равни, удобно е да се изчисли площта S_o всеки от тях може да бъде взет.

Предимството на използването на горната формула точно за права призма в сравнение с други призми е, че височината на фигурата се намира много лесно, тъй като съвпада с дължината на страничните ръбове.

Площ на страничната повърхност

Удобно е да се изчисли не само обемът на права фигура от въпросния клас, но и нейната странична повърхност. Всъщност всяка от страните му е или правоъгълник, или квадрат. Всеки ученик знае как да изчисли площта на тези плоски фигури; за целта съседните страни трябва да се умножат една по друга.

Да предположим, че в основата на призмата лежи произволен n-ъгълник, чиито страни са равни на a_i. Индекс i е от 1 до n. Площта на един правоъгълник се изчислява по следния начин

S_i = a_i*h.

Странична повърхност S_b може лесно да се изчисли, като се съберат всички площи S_i правоъгълници. След това получаваме окончателната формула за S_b на правоъгълна призма:

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i) = h*P_o.

Така, за да определите площта на страничната повърхност на правоъгълна призма, умножете височината ѝ по периметъра на едната основа.

Задача с триъгълна призма

Нека приемем, че дадената призма. База - правоъгълен триъгълник. Катетите на този триъгълник са 12 cm и 8 cm. Трябва да изчислим обема на фигурата и нейната обща площ, ако височината на призмата е 15 см.

Нека първо изчислим обема на права призма. Триъгълникът (правоъгълен) в основата си има площ:

S_o = a₁*a₂/2 = 12*8/2 = 48 см².

Както може да се предположи, а₁ и₂ са катетите в това равенство. Знаейки площта на основата и височината (cm. (вж. условието на задачата), можем да използваме формулата за V

V = S_o*h = 48*15 = 720 cm³.

Общата площ на фигурата се формира от две части: площите на основите и страничната повърхност. Площите на две основи са равни:

S_2o = 2*S_o = 48*2 = 96 см².

За да изчислим площта на страничната повърхност, трябва да знаем периметъра на правоъгълния триъгълник. Нека да изчислим чрез Питагоровата теорема хипотенузата му a₃, имаме:

a₃ = √(a₁² + a₂²) = √(12² + 8²) = 14,42 cm.

Тогава периметърът на триъгълника на основата на права призма е

P = a₁ + a₂ + a₃ = 12 + 8 + 14,42 = 34,42 cm.

Прилагане на формулата за S_b, която беше написана в предишната точка, получаваме:

S_b = h*P = 15*34,42 = 516,3 cm.

Чрез сумиране на площите S_2o и S_b, получаваме общата площ на изследваната геометрична фигура:

S = S_2o + S_b = 96 + 516,3 = 612,3 cm².

Триъгълната призма, изработена от специални видове стъкло, се използва в оптиката за изследване на спектрите на обекти, излъчващи светлина. Такива призми са способни да разлагат светлината на съставните ѝ честоти благодарение на явлението дисперсия.