Какво е тангенциално ускорение? Формули, примерна задача

Движението е едно от важните свойства на материята в нашата Вселена. Всъщност дори при температурата на абсолютната нула движението на частиците на материята не спира напълно. Във физиката движението се описва с редица параметри, основният от които е ускорението. В тази статия ще обясним по-подробно какво е тангенциално ускорение и как да го изчислим.

Ускорение във физиката

Ускорението се отнася до бързината, с която се променя скоростта на дадено тяло по време на движението му. Математически запишете това определение

a¯ = d v¯/ d t

Това е кинематичното определение на ускорението. Във формулата е показано, че тя се изчислява в метри на квадратна секунда (m/s)²). Ускорението е векторно свойство. Нейната посока няма нищо общо с посоката на скоростта. Посоката на ускорението е по посока на изменението на скоростта. Очевидно е, че в случай на равномерно движение по права линия няма промяна в скоростта, така че ускорението е равно на нула.

Ако говорим за ускорението като динамична величина, трябва да си спомним закона на Нютон:

F¯ = m × a¯ =>

a¯ = F¯ / m

Причината за величината на¯ е силата F¯. Тъй като масата m е скаларна величина, ускорението е по посока на силата.

Траектория на движение и общо ускорение

Когато говорим за ускорение, скорост и изминато разстояние, не бива да забравяме още една важна характеристика на всяко движение - траекторията. Това е въображаема линия, по която се движи въпросното тяло. По принцип тя може да бъде крива или права линия. Най-често срещаната крива на траекторията е окръжността.

Да предположим, че тялото се движи по крива траектория. Скоростта му се променя по някакъв закон v = v (t). Във всяка точка от траекторията скоростта е насочена по допирателната към нея. Скоростта може да се изрази като произведение на модула v от елементарния вектор u¯. Тогава за ускорението получаваме

v¯ = v × u¯;

a¯ = d v¯/ d t = d (v × u¯) / d t

Прилагайки правилото за изчисляване на производната на произведението на функции, получаваме

a¯ = d (v × u¯) / d t = d v / d t × u¯ + v × d u¯ / d t

Така общото ускорение a¯ в крива траектория се разлага на два компонента. В тази статия ще разгледаме подробно само първата компонента, която се нарича тангенциално ускорение на точката. Що се отнася до втория член, нека просто кажем, че той се нарича нормално ускорение и е насочен към центъра на кривината.

Тангенциално ускорение

Тази компонента на общото ускорение се обозначава със символа a_t¯. Нека отново запишем формулата за тангенциалното ускорение:

a_t¯ = d v / d t × u¯

О отколкото казва това уравнение? Първо, компонентът a_t¯ характеризира промяната на абсолютната стойност на скоростта, без да се взема предвид нейната посока. Така по време на движението векторът на скоростта може да бъде постоянен (праволинеен) или постоянно променящ се (криволинеен), но ако модулът на скоростта остава постоянен, тогава a_t¯ ще бъде нула.

Второ, тангенциалното ускорение е насочено точно като вектора на скоростта. Този факт се потвърждава от наличието на множител в горната формула под формата на елементарния вектор u¯. Тъй като u¯ е допирателна към пътя, а компонентът a_t¯ често се нарича тангенциално ускорение.

От дефиницията на тангенциалното ускорение можем да заключим, че стойностите a¯ и_t¯ винаги съвпадат при праволинейно движение.

Тангенциално и ъглово ускорение при кръгово движение

По-горе установихме, че движението по всяка криволинейна траектория води до две компоненти на ускорението. Завъртането на материални точки и тела по окръжност е един от начините за движение по крива линия. Този тип движение е удобно да се опише чрез ъглови характеристики, като ъглово ускорение, ъглова скорост и ъгъл на завъртане.

Ъгловото ускорение α се отнася до размера на промяната на ъгловата скорост ω:

α = d ω / d t

Ъгловото ускорение увеличава скоростта на въртене на. Очевидно е, че в този случай линейната скорост на всяка точка, участваща във въртенето, се увеличава. Следователно трябва да съществува израз, който да свързва ъгловото и тангенциалното ускорение. Няма да навлизаме в подробности за извеждането на този израз, а ще го дадем веднага:

a_t = α × r

Стойностите на a_t и α са пряко пропорционални един на друг. Освен това_t нараства с увеличаване на разстоянието r от оста на въртене до въпросната точка. Ето защо е удобно да се използва α вместо a_t (α не зависи от радиуса на въртене r).

Пример за задача

Известно е, че една материална точка се върти около ос с радиус 0,5 m. Ъгловата му скорост се променя по следния закон

ω = 4 × t + t² + 3

Трябва да определим с какво тангенциално ускорение ще се завърти точката за време 3,5 секунди.

За да решим тази задача, първо трябва да използваме формулата за ъглово ускорение. Тогава имаме:

α = d ω / d t = 2 × t + 4

Сега трябва да приложим уравнението, което свързва стойностите a_t и α, получаваме:

a_t = α × r = t + 2

При записването на последния израз заменихме стойността r = 0,5 m от условието. Накрая получаваме формулата, според която тангенциалното ускорение като функция на времето. Такова кръгово движение не е равномерно ускорено. За да получим отговора на задачата, трябва само да заменим известен момент във времето. Получаваме отговора: a_t = 5,5 m/s².