Формулата на Герон или как да се намери площта на триъгълник чрез трите му страни

Съдържание

Общата формула
Формула на Герон
Пример за решение на проблема

Триъгълникът е най-простата затворена фигура в равнината, състояща се само от три свързани помежду си сегмента. В геометричните задачи често се налага да се определи площта на. Какво да направите необходимо е да знаете? В тази статия ще отговорим на въпроса как да намерим площта на триъгълник с помощта на три страни.

Общата формула

Всеки ученик знае, че площта на триъгълник се изчислява, като се умножи дължината на дадена страна, a, по половината от височината, h, паднала върху избраната страна. Съответната формула е дадена по-долу: S = a*h/2.

Можете да използвате този израз, ако знаете поне две страни и стойността на ъгъла между тях. В този случай височината h може лесно да се изчисли с помощта на тригонометрични функции, например синус. Но не всеки знае как да намери площта на триъгълник чрез трите му страни.

Формула на Герон

Тази формула е отговорът на въпроса как да намерим площта на триъгълник, като използваме трите страни. Преди да го запишем, ще означим дължините на отсечките на произволна форма като a, b и c. Формулата на Geron се записва в следния вид: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Където p е полупериметърът на фигурата, т.е: p = (a+b+c)/2.

Въпреки очевидната си неудобност горният израз за площта S е лесен за запомняне. Първо изчислете полупериметъра на триъгълника, след това извадете една дължина на страната от триъгълника, умножете всички получени разлики и самия полупериметър. Накрая вземете квадратния корен от произведението.

Тази формула е кръстена на Херон Александрийски, живял в началото на нашата ера. Съвременната история предполага, че именно този философ е приложил за първи път горния израз, за да извърши съответните изчисления. Тази формула е публикувана в неговия труд "Метричен", която датира от 60 г. след Христа. Отбелязваме, че в някои трудове на Архимед, живял два века по-рано от Херон, има сведения, че гръцкият философ вече е знаел формулата. Освен това древните китайци са знаели и как да намерят площта на триъгълник, като са познавали трите му страни.

Важно е да се отбележи, че задачата може да бъде решена, без да се знае съществуването на формулата на Херон. За целта трябва да начертаем двойка височини в триъгълника и да използваме общата формула от предишната точка, за да построим съответната система уравнения.

Изразът на Герон може да се използва за изчисляване на площите на произволни многоъгълници, като първо се разделят на триъгълници и се изчислят дължините на получените диагонали.

Пример за решение на проблема

Знаейки как да намерим площта на триъгълник с три страни, нека затвърдим получените знания, като решим следната задача. Нека страните на фигурата са 5 см, 4 см и 3 см. Районът, който трябва да се намери, е.

Трите страни на триъгълника са известни, така че можем да използваме формулата на Герон. Изчисляваме полупериметъра и необходимите разлики, имаме:

p = (a+b+c)/2 = 6 cm;
p-a = 1 cm;
p-b = 2 cm;
p-c = 3 cm.

Тогава получаваме площ: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = √(6*1*2*3) = 6 см².

Триъгълникът, даден в условието на задачата, е правоъгълен триъгълник, което е лесно да се провери с помощта на Питагоровата теорема. Тъй като площта на такъв триъгълник е равна на половината от произведението на катетите, получаваме: S = 4*3/2 = 6 cm².

Получената стойност съвпада със същата за формулата на Херон, което потвърждава валидността на последната.