Задачи за триъгълници: как да намерим хипотенузата, като имаме предвид ъгъла и чертата

Всичко започва с гърците. Не сегашните, а онези, които са живели преди. Все още нямаше калкулатори, но нуждата от изчисления вече беше налице. И почти всяко изчисление в крайна сметка води до.. на правоъгълни триъгълници. Те дадоха решение на много проблеми, един от които беше този: "Как да намерите хипотенузата, ако знаете ъгъла и катета??".

Правоъгълни триъгълници

Въпреки простотата на определението, тази фигура в равнината може да постави много загадки. Мнозина са се сблъскали с това, поне в училищната програма. Хубавото е, че на всички въпроси е отговорено със собствените му думи.

Но не може ли тази неусложнена комбинация от страни и ъгли да бъде опростена? Оказа се, че можете. Достатъчно е да направите един ъгъл прав, т.е. е. ...равна на 90°.

Изглежда, че това няма значение? огромен. Ако в цялото разнообразие от ъгли е почти невъзможно да се разбере, тогава, след като е фиксиран един от тях, е лесно да се стигне до изненадващи заключения. Точно това е направил Питагор.

Дали той е измислил думите "катетът" и "хипотенузата" или някой друг - това няма значение. Важното е, че те не просто са получили имената си, а са ги получили заради връзката си с правия ъгъл. Двете страни са съседни. Те бяха катетите. Третият е противоположен, той става хипотенуза.

И какво от това??

Ако само защото е възможно да се отговори на въпроса как да се намери хипотенузата от катета и ъгъла. Благодарение на понятията, въведени от древните гърци, стават възможни логически конструкции на отношенията между страните и ъглите.

Самите триъгълници, включително правите ъгли, са използвани при строежа на пирамидите. Известният египетски триъгълник със страни 3, 4 и 5 може би е подтикнал Питагор да формулира известната теорема. На свой ред тя се превръща в.. решението на проблема, Как да намерим хипотенузата, като знаем ъгъла и катета

Квадратите на страните са свързани помежду си. Заслугата на древния грък не е в това, че го е забелязал, а в това, че е успял да докаже теоремата си за всички други триъгълници, а не само за египетския.

Сега е лесно да се изчисли дължината на едната страна, познавайки другите двама. Но в живота обикновено възникват проблеми от друг вид, когато е необходимо да се намери хипотенузата, като се знае катетът и ъгълът. Как да определите ширината на река, без да си намокрите краката? Лесно. Нека построим триъгълник, единият катет на който е ширината на реката, а другият е известен от построяването на. ако знаехме и обратната страна... Решението вече е намерено от последователите на Питагор.

Така че проблемът е как да намерим хипотенузата, като знаем ъгъла и катета

Освен квадратурата на страните, те откриват и много други любопитни връзки. Въведени са нови дефиниции за тяхното описание: синус, косинус, тангенс, котангенс и други тригонометрични. Формулите се означават със следните означения: Sin, Cos, Tg, Ctg. Какво представлява, е показан на фигурата.

Стойностите на функциите, ако ъгълът е известен, са изчислени отдавна и са представени в таблици от известния руски учен Брадис. Например, Sin30° = 0,5. И така за всеки ъгъл. Нека сега се върнем към реката, на единия бряг на която очертахме линията CA. Дължината му ни е известна: 30 метра. Ние изготвихме. От другата страна стои дървото в точка В. Лесно е да измерите ъгъл А, нека той е 60°.

В таблицата на синусите намираме стойността за ъгъл 60°, която е 0,866. Така CA/BB = 0,866. Следователно AB се определя като CA:0,866 = 34,64. След като вече знаем двете страни на правоъгълния триъгълник, изчисляването на третата няма да е проблем. Питагор е направил всичко за нас, трябва само да заменим числата:

BC = √AB² - AC² = √1199,93 - 900 = √299,93 = 17,32 метра.

Така убихме два заека с един куршум: разбрахме как да намерим хипотенузата, като знаем ъгъла и катета, и изчислихме ширината на реката.