Диференциране и интегриране: определение, понятие, форми

Диференцирането и интегрирането е уравнение, съдържащо производните. Последните, ако следваме математическите свойства, се делят на редовни и частични. Производните представляват скоростта на изменение, а диференциалното уравнение описва връзката между величината, която постоянно се променя в процеса на разтваряне, за да образува нови променливи.

Университетски преподавател с лекота се ориентира в сложните операции с интеграли, преобразува ги в едно цяло число и след това доказва изчисленията с обратния метод. Въпреки това способността за бързо припомняне на детайлите на сложни формули не е достъпна за всеки, така че е препоръчително да опресните паметта си или да откриете нов материал.

Значение и основно приложение

В научната литература производната се дефинира като степента, подлежаща на трансформация на функцията въз основа на една от нейните променливи. Диференцирането е същността на смятането, което може да се сравни с началото на търсенето на допирателна към дадена точка. Както е известно, последният е от различни видове и изисква изчислителни формули за намиране. Да предположим, че трябва да се намери наклонът на допирателната към графиката в точката P. Как да го направим? Достатъчно е да начертаем дъгообразна линия през маркирания обект и да я вдигнем нагоре, докато получим разделена линия.

Функцията f в x се нарича диференцируема в x = a, ако производната на f `(a) съществува във всяка точка от нейната област. Нека демонстрираме един пример:

f `(a) = lim (h=0) × f(a + h) - f(a)/h

За да може уравнението да се подложи на функциите диференциране и интегриране така, че местоположението му да стане възможно във всяка точка x, то не трябва да е прекъснато. Чрез предварително изготвяне на схематично представяне можете да проверите валидността на твърдението. Поради тази причина областта на f `(x) се определя от съществуването на нейните граници.

Да предположим, че y = f(x) е функция на x, тогава производната на f(x) е зададена като dy/dx. То се определя и като линейно уравнение, за което трябва да намерим необходимите данни за y.

Ако обаче търсим производната на y в първия случай, тогава трябва да намерим f(x) от x в следващия.

d/dx × (f(x)) la или df/dx la

Оттук и записът на скоростта на изменение на функцията f(x) по отношение на x в точката a, лежаща на нейната повърхност.

Ако знаем производната f`, която е диференцируема в областта си, можем да намерим нейната стойност f. В интегралното смятане наричаме f антидериватив или примитив на функцията f `. Методът на изчисление е известен като антидиференциране или интегриране.

Видове и форми

Уравнение с един или повече членове, които включват производните на зависимата променлива спрямо независимата променлива, е известно като диференциално уравнение. С други думи, той се състои от набор от числени стойности, обикновени или частични, които се променят в процеса на решаване.

В момента съществуват следните видове диференциални уравнения.

Обикновено. Просто равенство, пряко зависещо от дадена променлива:

dy/dx + 5x = 5y

С частични производни:

dy/dx + dy/dt = x3-t3

d2y/dx2 - c2 × d2y/dt2

Старши коефициент. Тази форма се характеризира с реда на диференциалното уравнение, както е показано в примера по-долу, където той е равен на 3. Приема се, че това е най-голямото налично число:

d3y/dx2 + 5 × dy/dx + y = √x

Функциите могат да бъдат няколко вида, но за предпочитане е единичното цитиране с характерните формули за интегриране и диференциране.

y` = dy/dx

y` = d2y/dx2

y``` = d3y/dx3

Линейна. Променливата в уравнението се умножава по степента на единица. Графиката на този тип функции обикновено е права линия. напр. (3x + 5), но (x³ + 4x²) не е от този тип, тъй като изисква друго решение.

dy/dx + xy = 5x

Нелинейни. Всяко интегриране и диференциране на редове с двойни начини за получаване на равенство - вижте въпросната форма:

d2y/dx2- ln y = 10

Бързи методи за получаване на резултати

Не е достатъчно да погледнете формуляра, за да разберете как да се справите и да го приложите на практика. В момента има няколко начина за решаване на диференциално уравнение.

Те са:

1. Разделяне на променлива. Изпълнява се, когато примерът може да се представи като dy / dx = f(y) g(x). Особеността е, че f и g са функции, които принадлежат на собствените си стойности. Това трансформира задачата: 1/ f(y) dy = g(x) dx. И едва тогава преминете към следващата точка.
2. Метод на интегриращия фактор. Използва се, когато примерът е от вида dy / dx + p(x) y = q(x), където p и q са функции само на x.

Диференциалното смятане от първи ред изглежда като y`+ P(x) y = Q (x), тъй като съдържа необходимите функции и производната на y. Последващото увеличаване на наименованията се извършва на същия принцип. Например производните на дадена неизвестна функция могат да бъдат частични или обичайни.

Неопределени интеграли

Ако ви е дадена скоростта на велосипеда като функция на времето - можете ли да изчислите изминатото разстояние, като използвате изразходваните минути? Задачата изглежда непосилна, но интегралите ще ви помогнат да се справите с тези свойства възможно най-ефективно, като получите резултата.

В научната литература се подчертава, че те са обратното на диференциацията. Всъщност интегралите са метод за сумиране. Тя свързва частиците, за да създаде нещо ново - цяло. Основното във всеки подобен пример е да се намерят неопределените интеграли и да се проверят резултатите от интегрирането чрез диференциране. Това ще ви помогне да избегнете ненужни грешки.

Ако искате да намерите площта на произволна крива, като например y=f(x), използвайте въпросния метод. Помнете, че само внимателното отношение ще ви предпази от грешка.

Формули за решение

И така, след като въведохме основното понятие за диференциране и интегриране - обратното изчисление чрез функции - трябва да разгледаме накратко някои основни положения. Те са дадени по-долу.

Основни правила за изчисление

Интегрирани функции като f (x) могат лесно да се превърнат в равенство, като уравнението се представи като: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Тук F (x) се нарича антидериватив или примитив. f (x) е интегрална функция. dx - действа като допълнителен числов агент. C е интегрирана или произволна константа. x - действа в зависимост от страната на равенството.

От горното твърдение можем да заключим, че интегрирането и диференцирането на редове са два противоположни процеса. Заедно те действат като вид операция, насочена към получаване на крайния резултат, извършван върху самото уравнение.

Сега, когато знаем повече за особеностите на калкулатора, е препоръчително да подчертаем преобладаващите разлики, необходими за за по-нататъшно разбиране:

1. Диференцирането и интегрирането могат едновременно да отговарят на правилата за линейност.
2. Операциите имат за цел да намерят най-точното решение, но налагат ограничения при определянето им.
3. При диференциране на пример с полином резултатът е с 1 по-малък от степента на функцията, докато при интегриране резултатът се превръща в друг, действащ по обратния начин.
4. Двата вида решения, както беше посочено по-рано, са противоположни един на друг. Те се изчисляват с помощта на формулите за интегриране и диференциране.
5. Производната на всяка функция е уникална, но от друга страна, два интеграла в един и същи пример могат да се различават с константа. Именно това правило представлява основната трудност при изпълнението на.
6. Когато се занимаваме с производни, можем да разгледаме производните в точка. Почти както при интегралите, те дават функция върху интервал.
7. От геометрична гледна точка производната описва скоростта на изменение на дадена величина спрямо друга, докато неопределеният интеграл представлява кривата. Тя е разположена в успоредна посока и има допирателни в пресечните точки на неправилните линии с други линии, ортогонални на оста, представляваща променливата.

Методи за добавяне

Ако се сблъскате с проблема как сумирането се прилага към математическите операции диференциране и интегриране, трябва да се запознаете добре с основните формули. Те са аксиоматични в обучението, така че се използват универсално. Моля, обърнете внимание, че при прилагането им към собствените ви примери формулите са верни само ако започват с i = 1.

Частично решение

Понякога функцията изисква нестандартен подход, за да се стигне до крайния резултат и да се изпълнят условията за равенство. Пощенското интегриране и диференциране на серии се основава на изразеното тъждество: ∫ f(x) g`(x) dx = f (x) g(x) - ∫ f`(x) g(x) dx

Алгоритъмът на разглежданата техника е следният:

1. Изразяване на интегрираната функция като произведение на два израза. Едната се означава с f (x), а другата - с g′ (x).
2. Сега пристъпете към определяне на другите две формули, които могат да бъдат приложени чрез първата стъпка. Серията ще се промени. Чрез диференциране трансформираме f ′(x), за да получим израз f (x). Преминете към другата част - g (x) се интегрира в g′(x). В този случай dx остава в първоначалния си вид и не се използва.
3. Вмъкнете получените изрази във формулата на части. С това процедурата приключва и сега можете да се опитате да оцените новия десен интеграл, тъй като сега той е много по-лесен за разбиране.

По-рано този метод включваше интегриране на части от матрица. Този метод е успешен, но отнема много време и сега се използва по-рядко, в специални случаи, когато е практически невъзможно да се намери решение. За да направите това, просто поставете f и g′ на първия ред и изчислете f′ и g на втория.

Защо ни е необходима интеграция по части??

Ситуациите са различни. Понякога решенията са много по-сложни, отколкото изглеждат на пръв поглед. Затова е необходимо да се посочат основните проблеми, които често се срещат при пощенското интегриране и диференциране на мощни редове. Нека разгледаме две основни правила.

Първо, частта, която възнамеряваме да интегрираме, т.е. частта, избрана за g ′(x), трябва да можем да трансформираме. Направете е важно да го използвате максимално бързо. Въпросът е, че сложното интегриране за g рядко води до подобрен интеграл, което увеличава сложността на. Всички тези фактори влияят отрицателно върху свободата на действие при решаване на задачите и също така зависят от мощностите, синусите и косинусите. Нека търсенето на правилния отговор отнеме време, но ще доведе до правилния, а не до объркващия отговор.

Второ, всичко останало, т.е. частта, която възнамеряваме да диференцираме и обозначим с F, трябва да се откроява забележимо след трансформацията. След проста процедура забелязваме, че новият интеграл е по-опростен от своя предшественик.

По този начин, когато комбинираме двете правила и ги използваме при решаване, получаваме възможност да се възползваме от диференцирането и интегрирането на мощни функции, които има смисъл да разглеждаме на части.

Съществува и начин за премахване на x, който ни позволява да използваме трансформациите ефективно в различни ситуации. Например можем лесно да интегрираме, като умножим функцията с полином, който редуцираме чрез диференциране.

∫ x2 sin(3x) dx

∫ x7 cos(x) dx

∫x4 e4x dx

Като f приемаме степента на x (в по-общия случай полином), а също така използваме g`. Очевидно е, че всяко диференциране намалява степента на числото с единица, затова ако в примера тя е достатъчно висока - приложете пощенското интегриране няколко пъти. Това ще помогне да се намали времето за.

Сложност на някои уравнения

В този случай става въпрос за диференциране и интегриране на мощни редове. Функцията може да се разглежда така, сякаш x е областта на интервала на сходимост. Вярно е, че методът няма да работи за всички. Въпросът е, че всяка функция може да бъде изразена като степенна редица, превръщайки се в линейна структура и обратно.

Например, дадено ни е e_x. Можем да го изразим като уравнение, което всъщност е просто безкраен полином. Мощни редици се виждат лесно чрез изчисление, но то не винаги е ефикасно.

Определен интеграл като граница на сума

Разгледайте следните графични интегриране и диференциране.

За да разберете една сложна функция, е достатъчно да я разберете задълбочено. Да пресметнем площта между кривата y = f (x), оста x и координатите "x = a" и "x = b". Сега разделете интервала [a, b] на "n" равни подинтервала, означени по следния начин: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]... [xn - 1 , xn ].

Където x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, x3 = a + 3h.. .. xr = a + rh и xn = b = a + nh или n = (b - a) / h. (1). Забележете, че когато n → ∞ h → 0.

Разглежданото пространство PRSQP е съвкупност от всички "n" подобласти, като всяка от тях е дефинирана върху определена медиана [x_r-1 , х_r ], r = 1, 2, 3... n. С правилния подход тези функции могат да бъдат диференцирани и интегрирани за бързо решаване на.

Сега погледнете ABDM на фигурата. От него може да се направи следното наблюдение на областите: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Също така отбележете, че ако h → 0 или x_r - х_r-1 → 0 и трите области стават почти равни помежду си. Следователно имаме:

sn = h [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ... f(xn - 1)] = h r=0∑n-1 f(xr) (2)

или Sn = h [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ... f(xn)] = h r=1∑n f(xr) (3)

В този случай s_n и S_n обозначава сумата от площите на всички долни и горни правоъгълници, издигнати над интервалите [x_r-1, х_r] съответно за r = 1, 2, 3,..., n. В перспектива уравнение (1) може да се пренапише по следния начин

sn< площ (PRSQP) < Sn ... (4)

Освен това се приема, че границите (2) и (3) са еднакви и в двата случая, а обща е само площта под кривата. В резултат на това имаме:

limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = площ PRSQP = ∫ab f(x) dx ... (5)

Площта е и границата на пространството между правоъгълниците под кривата и над кривата. За удобство трябва да вземете под внимание до височината на фигурата, равна на кривата в левия край на всеки подинтервал. Следователно уравнението се пренаписва в краен вид:

∫ab f(x) dx = limn → ∞ h [f(a) + f(a + h) + . + f(a + {n - 1}h)]

или ∫ab f(x) dx = (b - a) limn → ∞ (1/n) [f(a) + f(a + h) + ... + f(a + {n - 1}h)]

Заключение

Диференцирането и интегрирането се различават помежду си по редица свойства, формули и противоположни промени. Единият не може да се превърне в другия без помощта на. Ако диференцирането помага за намиране на производната, интегрирането извършва съвсем различно действие. Той добавя някои части, може да помогне за степените, като ги намали, или да подобри пример, като го опрости.

Прилага се и да проверявате диференцируеми уравнения. С други думи - те действат като едно цяло, което не може да съществува поотделно, тъй като се допълват взаимно. Прилагайки правилата и познавайки много техники, вече можете да решавате сложни проблеми.