Матрици: методът на гаус. Изчисляване на матрица по метода на гаус: примери

Линейната алгебра, която се преподава в университетите в различни специалности, съчетава доста трудни теми. Някои от тях са свързани с матриците, както и с решаването на системи линейни уравнения чрез методите на Гаус и Гаус-Жордан. Не всички ученици са в състояние да разберат тези теми, алгоритмите за решаване на различни задачи. Да научим заедно за матриците и методите на Гаус и Гаус-Йорданов.

Основни понятия

В линейната алгебра матрицата е правоъгълен масив от елементи (таблица). Наборите от елементи, оградени в скоби, са показани по-долу. Това са матриците. От този пример се вижда, че елементите в правоъгълните масиви не са само числа. Матрицата може да се състои от математически функции, алгебрични символи.

За да се справим с някои понятия, нека създадем матрица A с елементи a_ij. Индексите не са просто букви: i е номерът на реда в таблицата, а j е номерът на колоната, в чиято пресечна точка се намира елементът a_ij. И така, виждаме, че имаме матрица от такива елементи като a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ и t. д. С n означаваме броя на колоните, а с m - броя на редовете. Със символа m × n се обозначава размерността на дадена матрица. Това е терминът, който определя броя на редовете и колоните в правоъгълен масив от елементи.

Не е задължително една матрица да има повече колони и редове. Ако размерът му е 1 × n, масивът от елементи е едноредов, а ако размерът му е m × 1, той е едноколонков. Ако броят на редовете и броят на стълбовете са равни, матрицата се нарича квадратна матрица. Всяка квадратна матрица има детерминанта (det A). Този термин се отнася до числото, което се присвоява на матрица A.

Още няколко важни понятия, които трябва да запомните за успешното решаване на матрици, са главните и страничните диагонали. Главният диагонал на една матрица е диагоналът, който се спуска към десния ъгъл на таблицата от горния ляв ъгъл. Диагоналната страна отива към десния ъгъл нагоре от долния ляв ъгъл.

Поетапен изглед на матрица

Погледнете снимката по-долу. Можете да видите матрицата и диаграмата. Нека първо разгледаме матрицата. В линейната алгебра матрица с такава форма се нарича стъпкова матрица. Тя има следното свойство: ако a_ij е първият ненулев елемент в i-тия ред, тогава всички останали елементи от матрицата под и вляво от a_ij , са равни на нула (t. е. всички елементи, които могат да получат буквено обозначение a_kl, където k>i, и l

Сега разгледайте схемата. Тя представлява стъпаловидна матрица. В матрицата има 3 вида клетки. Всеки вид обозначава определени елементи:

• празните клетки са нулеви елементи на матрицата;
• засенчените клетки са произволни елементи, които могат да бъдат както нулеви, така и ненулеви;
• черните квадратчета са ненулеви елементи, които се наричат ъглови елементи, "стъпки" (в представената по-нататък матрица такива елементи са цифрите -1, 5, 3, 8).

При решаване на матрици понякога се получава резултат, при който "дължината" на дадена стъпка е по-голяма от 1. Това е позволено. От значение е "височината" на стъпалата. В матрица с поетапно разпределение този параметър винаги трябва да е равен на единица.

Привеждане на матрица в стъпаловидна форма

Всяка правоъгълна матрица може да се трансформира в стъпаловидна форма. Това става с помощта на елементарни трансформации. Те включват:

• Чрез пренареждане на редовете;
• Добавете към един ред друг ред, ако е необходимо, умножен по някакво число (можете да извършите и операцията изваждане).

Нека разгледаме елементарни трансформации при решаването на конкретна задача. На фигурата по-долу е показана матрица А, която искаме да преобразуваме в стъпаловидна форма.

За да решите задачата, следвайте алгоритъма:

• Удобно е да се извършват преобразувания върху матрица, чийто първи елемент е в горния ъгъл на лявата страна (t. е. "водещият" елемент) е равен на 1 или -1. В нашия случай първият елемент в горния ред е 2, така че нека разменим редове 1 и 2.
• Ще извършим операции за изваждане на редове 2, 3 и 4. Трябва да получим нули в първата колона под "водещия" елемент. За да постигнем този резултат: от елементите на ред номер 2 последователно изваждаме елементите на ред номер 1, умножени по 2; от елементите на ред номер 3 последователно изваждаме елементите на ред номер 1, умножени по 4; от елементите на ред номер 4 последователно изваждаме елементите на ред номер 1.
• След това ще работим със съкратена матрица (без колона № 1 и без ред № 1). Новият "водещ" елемент в пресечната точка на втората колона и втория ред е -1. Не е необходимо редовете да бъдат пренареждани, затова пренаписваме без промени първата колона и първия и втория ред. Нека извършим операции по изваждане, за да получим нули във втората колона под "водещия" елемент: от елементите на третия ред последователно изваждаме елементи от втория ред, умножени по 3; от елементите на четвъртия ред последователно изваждаме елементи от втория ред, умножени по 2.
• Остава да се промени последният ред. Извадете последователно елементите на третия ред от неговите елементи. Така че имаме матрица на стъпките.

Редуцирането на матриците до стъпаловидна форма се използва при решаването на системи линейни уравнения (СЛУ) по метода на Гаус. Преди да започнем да използваме този метод, нека въведем някои термини, свързани с SLU.

Матрици и системи линейни уравнения

Матриците се използват в различни науки. С помощта на таблици с числа е възможно например да се решат линейни уравнения, обединени в система, по метода на Гаус. Първо, нека се запознаем с няколко термина и техните определения и да видим как се получава матрица от система, която се състои от няколко линейни уравнения.

РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ - няколко комбинирани алгебрични уравнения, в които има неизвестни от първа степен и няма членове, представляващи произведението на неизвестните.

Решението на SLU е намерените стойности на неизвестните, които, когато се заместят, превръщат уравненията в системата в тъждества.

Съвместното SLU е система от уравнения, която има поне едно решение.

Несъвместимата SRN е система от уравнения, която няма решения.

Как матрицата се основава на система от обединени линейни уравнения?? Съществуват понятия като главна матрица и разширена матрица на системата. За да получим главната матрица на системата, трябва да съставим таблици с всички коефициенти на неизвестните. Разширената матрица води до като добавите към главната матрица на колоната със свободни членове (която включва известните елементи, към които се приравнява всяко уравнение в системата). Можете да разберете целия процес, като разгледате снимката по-долу.

Първото нещо, което виждаме на картинката, е система, която включва линейните уравнения. Елементите му са: a_ij - цифрови коефициенти, x_j - неизвестни величини, b_i - свободни членове (където i = 1, 2, ..., m и j = 1, 2, ..., n). Вторият елемент в картината е главната матрица на коефициентите. От всяко уравнение коефициентите се записват в един ред. Резултатът е толкова редове в матрицата, колкото са уравненията в системата. Броят на колоните е равен на най-големия брой коефициенти във всяко уравнение. Третият елемент в картината е разширена матрица с колона от свободни термини.

Обща информация за метода на Гаус

В линейната алгебра методът на Гаус е класически начин за решаване на SLU. Наречен е на Карл Фридрих Гаус, живял през 18-ти и 19-ти век. Това е един от най-великите математици на всички времена. Същността на метода на Гаус се състои в извършването на елементарни преобразувания на системата от линейни алгебрични уравнения. С помощта на трансформации SLU се свежда до равностойна триъгълна система, от която могат да се намерят всички променливи.

Струва си да се отбележи, че Карл Фридрих Гаус не е откривателят на класическата метод на решение на системата линейни уравнения. Методът е изобретен много по-рано. Първо нейното описание се намира в енциклопедията на знанията на древните китайски математици, наречена "Математика в 9 книги".

Пример за решаване на SLU по метода на Гаус

Разгледайте конкретен пример за решаване на системи по метода на Гаус. Нека да работим с SLU на снимката.

Алгоритъм за решаване:

1. С помощта на прекия метод на Гаус ще сведем поетапно системата до стъпаловидна форма, но първо нека създадем разширена матрица на числените коефициенти и свободните членове.
2. За решаване на матрицата по метода на Гаус (t. е. за да го сведем до стъпаловидна форма), изваждаме последователно от елементите на втория и третия ред елементите на първия ред. В първата колона под "водещия" елемент получаваме нулите. След това ще разменим втория и третия ред места за за удобство. Към елементите на последния ред добавете последователно елементите на втория ред, умножени по 3.
3. В резултат на изчисляването на матрицата по метода на Гаус се получава стъпаловиден масив от елементи. Въз основа на нея нека съставим нова система линейни уравнения. С помощта на обратното приложение на метода на Гаус намираме стойностите на неизвестните членове. От последното линейно уравнение виждаме, че x₃ е равен на 1. Заместете тази стойност във втория ред на системата. Получаваме уравнението x₂ - 4 = -4. От това следва, че x₂ равен на 0. Заместване на x₂ и x₃ в първото уравнение на системата: x₁ + 0 +3 = 2. Неизвестният член е -1.

Отговор: С помощта на матричния метод на Гаус намерихме стойностите на неизвестните; x₁ = -1, x₂ = 0, x₃ = 1.

Метод на Гаус-Жордан

В линейната алгебра съществува и понятието метод на Гаус-Жордан. Той се счита за модификация на метода на Гаус и се използва за намиране на обратни матрици, изчисляване на неизвестните членове на квадратни системи от алгебрични линейни уравнения. Методът на Гаус-Жордан е удобен, тъй като решава SLU в една стъпка (без да използва движения напред и назад).

Нека да започнем с термина "обратна матрица". Да предположим, че имаме матрица A. Обратната страна на тази матрица е матрицата A^-1, условие: A × A^-1 = A^-1 × A = E, t. е. произведението на тези матрици е равно на единичната матрица (за единичната матрица елементите на главния диагонал са единици, а останалите елементи са нули).

Важна подробност: Линейната алгебра има теорема за съществуване на обратната матрица. Достатъчно и необходимо условие за съществуването на матрица A^-1 - не е дегенеративна на матрицата A. При несингулярност det A (детерминанта) е ненулева.

Основните стъпки, на които се основава методът на Гаус-Жордан:

1. Погледнете първия ред на дадена матрица. Можете да започнете да прилагате метода на Гаус-Жордан, ако първата стойност не е нула. Ако първото място е 0, разменете редовете, така че първият елемент да има стойност, различна от нула (за предпочитане число, близко до единица).
2. Разделете всички елементи на първия ред на първото число. Ще получите ред, който започва с едно.
3. От втория ред извадете първия ред, умножен по първия елемент на втория ред, t. е. Ще се получи ред, който започва с нула. По подобен начин процедирайте и с останалите редове. За да се получат единици по диагонала, разделете всеки ред с първия му ненулев елемент.
4. Ще получите горна триъгълна матрица, като използвате метода на Гаус-Жорданян. В него главният диагонал е представен от единици. Долният ъгъл е запълнен с нули, а горният - с различни стойности.
5. От предпоследния ред се изважда последният ред, умножен по необходимия коефициент. Трябва да получите низ с нули и единица. За останалите редове повторете същото действие. След всички тези трансформации ще получите единична матрица.

Пример за намиране на обратна матрица по метода на Гаус-Жордан

За да изчислим обратната матрица, трябва да запишем разширената матрица A|E и да извършим необходимите трансформации. Нека вземем един прост пример. На фигурата по-долу е показана матрицата A.

Решение:

1. Първо, нека намерим детерминантата на една матрица по метода на Гаус (det A). Ако тя не е равна на нула, матрицата се счита за недегенерирана. Това ще ни позволи да заключим, че A има точно A^-1. За да изчислите детерминантата, преобразувайте матрицата в стъпаловидна форма, като използвате елементарни преобразувания. Нека изчислим числото K, равно на броя на пермутациите на редовете. Разменихме редовете само 1 път. Изчислете детерминантата. Стойността му ще бъде равна на произведението на елементите на главния диагонал, умножено по (-1)^K. Резултат от изчислението: det A = 2.
2. Формиране на разширена матрица чрез добавяне на единична матрица към оригиналната матрица. Ще използваме получения масив от елементи, за да намерим обратната матрица по метода на Гаус-Жордан.
3. Първият елемент в първия ред е един. Доволни сме от него, защото. к. не е необходимо да пренареждате редовете и да делите този ред на всяко число. Нека започнем работа с редове 2 и 3. За да стане първият елемент във втория ред 0, извадете от втория ред първия ред, умножен по 3. От третия ред извадете първия ред (не е необходимо умножение).
4. В получената матрица вторият елемент на втория ред е -4, а вторият елемент на третия ред е -1. Разменете редовете за по-голямо удобство. От третия ред извадете втория ред, умножен по 4. Разделете втория ред на -1, а третия ред на 2. Получихме горна триъгълна матрица.
5. От втория ред извадете последния ред, умножен по 4, а от първия ред извадете последния ред, умножен по 5. След това извадете от първия ред втория ред, умножен по 2. От лявата страна получихме единичната матрица. От дясната страна получавате обратната матрица.

Пример за решаване на SLU с помощта на метода на Гаус-Жордан

На фигурата е показана система от линейни уравнения. Намиране на стойностите на неизвестни променливи с помощта на матрица, метод на Гаус-Йордан.

Решение:

1. Нека направим разширена матрица. За тази цел добавете коефициенти и свободни членове в таблицата.
2. Да решим матрицата по метода на Гаус-Йорданов. От ред номер 2 извадете ред номер 1. Изваждаме ред номер 1 от ред номер 3, който преди това е умножен по 2.
3. Нека разменим редовете #2 и #3.
4. От ред 3 извадете ред 2, умножен по 2. Разделете третия ред на -1.
5. От ред #2 извадете ред #3.
6. От ред #1 вземете ред #2, умножен по -1. Отстрани имаме колона, състояща се от числата 0, 1 и -1. От това следва, че x₁ = 0, x₂ = 1 и x₃ = -1.

Ако желаете, можете да проверите правилността на решението, като замените изчислените стойности в уравненията:

• 0 - 1 = -1, първото тъждество от системата е вярно;
• 0 + 1 + (-1) = 0, втората идентичност на системата е вярна;
• 0 - 1 + (-1) = -2, третото тъждество на системата е валидно.

Заключение: Използвайки метода на Гаус-Жордан, намерихме правилното решение на квадратна система, съчетаваща линейни алгебрични уравнения.

Онлайн калкулатори

Животът на днешните младежи, изучаващи линейна алгебра във висшето образование, е значително опростен. Допреди няколко години беше необходимо да се намират решения на системи само по методите на Гаус и Жордан. Някои ученици решиха задачите успешно, докато други се объркаха, допуснаха грешки и помолиха съучениците си за помощ. Днес можете да използвате онлайн калкулатори, за да си напишете домашното. За решаване на системи линейни уравнения, търсене на обратни матрици са написани програми, които не само показват верните отговори, но и хода на решаване на конкретна задача.

В интернет има много ресурси с вградени онлайн калкулатори. Матрици по метода на Гаус, системи уравнения се решават от тези програми за няколко секунди. Учениците трябва да посочат само необходимите параметри (напр. брой уравнения, брой променливи).