Изчисляване на ъгъла между права линия и равнина. Координиран метод за решаване на проблеми

Едни от най-често срещаните задачи в стереометрията са задачите за пресичане на прави и равнини и за изчисляване на ъглите между тях. Нека в тази статия разгледаме подробно т.нар. координатен метод и ъглите между линия и равнина.

Линия и равнина в геометрията

Преди да разгледаме метода на координатите и ъгъла между права линия и равнина, трябва да се запознаем със следните геометрични обекти.

Правата линия е съвкупност от точки в пространството или в равнината, всяка от които може да се получи чрез линейно пренасяне на предходната към определен вектор. По-нататък ще обозначаваме този вектор със символа u¯. Ако умножим този вектор по всяко число, което не е нула, ще получим паралелен вектор u¯. Правата линия е линеен безкраен обект.

Равнината е също така съвкупност от точки, които са подредени по такъв начин, че ако направим произволни вектори от тях, всички те ще бъдат перпендикулярни на някакъв вектор n¯. Последното се нарича нормален или просто нормалното. Плоскостта, за разлика от правата линия, е двуизмерен безкраен обект.

Координатният метод за решаване на геометрични задачи

От името на самия метод можем да заключим, че става дума за метод на решение която се основава на извършване на последователни аналитични изчисления. С други думи, координатният метод решава геометрични задачи с помощта на универсалните инструменти на алгебрата, сред които основно място заемат уравненията.

Трябва да се отбележи, че въпросният метод се появява в зората на съвременната геометрия и алгебра. През XVII-XVIII в. голям принос за нея имат Рене Декарт, Пиер Ферма, Исак Нютон и Лайбниц.

Същността на метода се състои в извършване на изчисления на разстояния, ъгли, площи и обеми на геометрични елементи въз основа на известни координати на точки. Обърнете внимание, че формата на получените уравнения зависи от координатната система. Декартовата правоъгълна система се използва най-често в задачите, защото е най-удобна за работа.

Уравнението на линията

Разглеждането на метода на координатите и ъглите между линия и равнина ще започне с определянето на уравнението на линията. Съществува няколко начина представяне на линии в алгебрична форма. Нека тук разгледаме само векторното уравнение, тъй като всяка друга форма може лесно да бъде получена и да се работи с нея.

Да предположим, че има две точки P и Q. Известно е, че през тях може да се прекара права линия, която ще бъде единствената. Съответното математическо представяне на елемента е следното:

(x, y, z) = P + λ∗PQ¯.

Където PQ¯ е вектор, чиито координати се получават, както следва:

PQ¯ = Q - P.

Символът λ обозначава параметър, който може да приема абсолютно всяко число.

В записания израз можем да променим посоката на вектора и да заменим координатите Q вместо точка P. Всички тези трансформации няма да променят геометричното разположение на правата линия.

Обърнете внимание, че решенията на задачите понякога изискват явно (параметрично) представяне на записаното векторно уравнение.

Определение на равнината в пространството

Както и при правата линия, съществуват няколко форми на математически уравнения за равнината. Сред тях трябва да отбележим векторното уравнение, уравнението в сегменти и общата форма. В тази статия ще обърнем специално внимание на последната форма.

Уравнение в общ вид за произволна равнина може да се запише по този начин:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Латинските главни букви са определени числа, които определят равнината.

Удобството на тази форма на записване се състои в това, че тя изрично съдържа вектора, нормален към равнината. То е равно на:

n¯ = (A, B, C).

Познаването на този вектор позволява с един бърз поглед към уравнението на равнината да се представи разположението на последната в координатна система.

Взаимно пространствено положение на линията и равнината

В следващия параграф на статията ще разгледаме координатния метод и ъгъла между линията и равнината. Тук отговаряме на въпроса как в пространството могат да бъдат разположени въпросните геометрични елементи. Съществуват три такива метода:

1. Линията пресича равнината. С помощта на метода на координатите можем да изчислим в коя точка се пресичат линията и равнината.
2. Равнината на линията е успоредна на. В този случай системата от геометрични уравнения няма решение. За да докажем успоредност, обикновено използваме свойството на скаларното произведение на насочващия вектор на линията и нормалата на равнината.
3. Равнината съдържа линия. Решавайки системата уравнения в този случай, получаваме следното уравнение за всяка стойност на параметъра λ.

Във втория и третия случай ъгълът между дадените геометрични обекти е равен на нула. В първия случай тя е между 0 и 90^o.

Изчисляване на ъгли между линии и равнини

Нека сега преминем директно към темата на статията. Всяко пресичане на права линия и равнина е под определен ъгъл. Този ъгъл се образува от самата линия и нейната проекция върху равнината. Проекцията може да се получи, като се прекара перпендикуляр от всяка точка на линията към равнината и след това се премине през получената точка на пресичане на равнината и перпендикуляра и през точката на пресичане на равнината и първоначалната линия към линия, която ще бъде проекцията.

Изчисляването на ъгли между линии и равнини не е трудно. За да решим тази задача, е достатъчно да знаем уравненията на съответните геометрични обекти. Да предположим, че тези уравнения са следните:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ∗(a, b, c);

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Необходимият ъгъл се намира лесно, като се използва произведението на скаларните вектори u¯ и n¯. Окончателната формула изглежда по следния начин:

θ = arcsin(|(u¯*n¯)|/(|u¯|*|n¯|)).

Тази формула гласи, че синусът на ъгъла между линия и равнина е равен на отношението на модула на скаларното произведение на отбелязаните вектори към произведението на техните дължини. За да разберем защо вместо косинус се появява синус, нека се обърнем към фигурата по-долу.

Виждаме, че ако приложим функцията косинус, ще получим ъгъла между u¯ и n¯. Ъгълът θ (α на фигурата) се получава по следния начин:

θ = 90^o - β.

Синусът се появява в резултат на прилагането на формулите за редукция.

Примерен проблем

Нека преминем към практическо използване на придобитите знания. Нека решим типична задача за ъгъл между права линия и равнина. Определяме координатите на четирите точки, както следва:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1);

N = (-2, -1, 1).

Известно е, че равнината минава през точките PQM и линията през MN. С помощта на координатния метод трябва да се изчисли ъгълът между равнината и правата линия.

Нека първо да запишем уравненията на линията и равнината. За права линия не е трудно да се формулира:

MN¯ = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + λ∗(-2, -4, 2).

За да дадем уравнението на равнината, нека първо намерим нормалата към нея. Координатите му са равни на векторното произведение на два вектора, лежащи в равнината. Имаме:

PQ¯ = (-2, 3, 2);

QM¯ = (1, 1, -3) =>

n¯ = [PQ¯*QM¯] = (-11, -4, -5).

Сега заместете координатите на всяка основна точка в уравнението на общата равнина, за да получите стойността на свободния член D:

P = (1, -1, 0);

- (A*x + B*y + C*z) = D =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

Уравнението на равнината е във вида:

11*x + 4*y + 5*z - 7 = 0.

Остава да приложим формулата за ъгъла, образуван от пресечната точка на линията и равнината, за да получим отговора на задачата. Имаме:

(u¯*n¯) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

|u¯| = √24; |n¯| = √162;

θ = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68^o.

Използвайки тази задача като пример, показахме как да използваме координатния метод за решаване на геометрични задачи.