Разстояние между успоредни линии. Разстояние между успоредни равнини

Правата линия и равнината са двата най-важни геометрични елемента, които могат да се използват за конструиране на различни фигури в дву- и триизмерното пространство. Разгледайте как се намира разстоянието между успоредни прави и успоредни равнини.

Математическо определение на линията

От училищния курс по геометрия е известно, че в двуизмерна правоъгълна координатна система правата линия може да се даде в следния вид:

y = k*x + b.

Където k и b са числа (параметри). Писмената форма на представянето на правата линия в равнината е равнината, която е успоредна на оста z в триизмерното пространство. С оглед на това в настоящата статия ще използваме по-удобна и универсална форма - векторната форма, за да представим математически линията.

Да предположим, че нашата линия е успоредна на вектор u¯(a, b, c) и минава през P(x)_0, y₀, z₀). В този случай във векторна форма уравнението му ще бъде представено по следния начин:

(x_, y, z) = (x_0, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Тук λ е произволно число. Ако изрично представим координатите чрез разкриване на писмения израз, ще получим параметрична форма за запис на линията.

Удобно е да се работи с векторното уравнение при решаването на различни задачи, в които е необходимо да се определи разстоянието между линии, успоредни на.

Проливите и разстоянието между тях

Има смисъл да се говори за разстояние между линии само ако те са успоредни (в триизмерния случай има и ненулево разстояние между линии, които се пресичат). Ако линиите се пресичат, очевидно са на нулево разстояние една от друга.

Разстоянието между успоредни линии е равно на дължината на перпендикуляра, който ги свързва. За да определите това разстояние, просто произволно изберете точка върху една от линиите и прокарайте перпендикуляр от тази точка до другата.

Нека опишем накратко процедурата за намиране на необходимото разстояние. Да предположим, че, че ние знаем векторните уравнения на двете линии, които са представени в следния общ вид

(x_, y, z) = P + λ∗u¯;

(x_, y, z) = Q + β*v¯.

Нека построим паралелограм върху тези линии, така че едната страна да е PQ, а другата - u. Ясно е, че височината на тази фигура, построена от точка P, е дължината на перпендикуляра. За намирането му може да се приложи следната проста формула:

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯|.

Тъй като разстоянието между линиите се нарича дължина на перпендикулярната отсечка между тях, достатъчно е, съгласно записания израз, да се намери модулът на векторното произведение PQ¯ и u¯ и полученият резултат да се раздели на дължината на вектора u¯.

Пример за задача за определяне на разстоянието между линиите

Двете линии се определят от следните векторни уравнения:

(x_, y, z) = (2, 3, -1) + λ∗(-2, 1, 3);

(x_, y, z) = (1, 1, 1) + β*(2, -1, -3).

От записаните изрази виждаме, че имаме две успоредни линии. Всъщност, ако умножим по -1 координатите на първичния вектор на първата линия, ще получим координатите на първичния вектор на втората линия, което показва, че те са успоредни.

Нека да изчислим разстоянието между успоредни линии, като използваме формулата от предишната точка. Имаме:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1) => PQ¯ = (-1, -2, 2);

u¯ = (-2, 1, 3).

Тогава получаваме:

|u¯| = √14 cm;

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯| = √(90/14) = 2,535 cm.

Обърнете внимание, че за решаването на задачата вместо P и Q може да се използва всяка точка, която принадлежи на дадените линии. Ще получим същото разстояние d.

Определение за равнина в геометрията

По-горе разгледахме подробно разстоянието между линиите. Нека сега да покажем как се намира разстоянието между успоредни равнини.

Всеки знае какво е самолет. Според математическото определение даденият геометричен елемент е съвкупност от точки. И ако направите всички възможни вектори с тези точки, всички те ще бъдат перпендикулярни на един вектор. Последната се нарича нормала към равнината.

За определяне на уравнението на равнина в триизмерното пространство най-често се използва общата форма на уравнението. Това е следното:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Където главните латински букви са някои числа. Удобно е да се използва този тип равнинно уравнение, тъй като в него изрично се посочват координатите на нормалния вектор. Те са равни на A, B, C.

Лесно е да се види, че две равнини са успоредни само ако техните нормали са успоредни.

Как да намерим разстоянието между две успоредни равнини ?

За да определим това разстояние, трябва да имаме ясна представа за какво става дума. Разстоянието между равнини, които са успоредни една на друга, е дължината на отсечката, перпендикулярна на тях. Краищата на отсечката принадлежат на равнините.

Алгоритъмът за решаване на такива задачи е прост. Тя включва намирането на координатите на точно определена точка, която принадлежи на една от двете равнини. След това използвайте тази формула:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²).

Тъй като разстоянието е положителна стойност, числителят има знак модул. Записаната формула е универсална, тъй като позволява да се изчисли разстоянието от една равнина до абсолютно всеки геометричен елемент. Достатъчно е да се знаят само координатите на една точка от този елемент.

За пълнота трябва да отбележим, че ако нормалите на две равнини не са успоредни една на друга, то тези равнини ще се пресичат. Тогава разстоянието между тях ще бъде равно на нула.

Задача за определяне на разстоянието между равнините

Известно е, че двете равнини се определят от следните изрази:

y/5 + x/(-3) + z/1 = 1;

-x + 3/5*y + 3*z - 2 = 0.

Трябва да се докаже, че равнините са успоредни, както и да се определи разстоянието между тях.

За да отговорим на първата част на задачата, трябва да сведем първото уравнение до общия вид. Обърнете внимание, че в разделите той е представен с т.нар. уравнение. Умножете лявата и дясната му част по 15 и прехвърлете всички членове в едната страна равенство, получаваме:

-5*x + 3*y + 15*z - 15 = 0.

Нека запишем координатите на двата нормални вектора на равнините:

n₁¯ = (-5, 3, 15);

n₂¯ = (-1, 3/5, 3).

Виждаме, че ако n₂умножаваме по 5, след което получаваме точно координатите на n₁¯. Следователно въпросните равнини са успоредни.

За да изчислим разстоянието между успоредни равнини, избираме произволна точка от първата равнина и използваме горната формула. Например, вземете точка (0, 0, 1), която принадлежи на първата равнина. Тогава получаваме:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²) =

= 1/(√(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 cm.

Необходимото разстояние е 31 mm.

Разстояние между равнината и правата линия

Предоставените теоретични знания дават възможност за решаване на проблема с разстоянието между линията и равнината. Вече беше споменато по-горе, че формулата, валидна за изчисления между равнини, е универсална. Тя може да се използва и за решаване на проблема. За тази цел е достатъчно да се избере всяка точка, която принадлежи на дадена линия.

Основният проблем при определянето на разстоянието между разглежданите геометрични елементи е да се докаже тяхната успоредност (ако не са, тогава d=0). Паралелността се доказва лесно, като се изчисли скаларното произведение на нормалата и направляващия вектор за правата линия. Ако въпросните елементи са успоредни, това произведение ще бъде равно на нула.