Общото уравнение на права линия в равнината, в пространството

В геометрията, след точка, правата линия е вероятно най-простият елемент. Използва се за конструиране на всякакви сложни фигури в равнината и в триизмерното пространство. В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия и ще решим няколко задачи с него. Нека преминем към!

Права линия в геометрията

Всеки знае, че фигури като правоъгълник, триъгълник, призма, куб и т.н. се образуват от пресичащи се прави линии. В геометрията правата линия се счита за едноизмерен обект, който може да се получи чрез пренасяне на дадена точка към вектор със същата или противоположна посока. За да разберем по-добре това определение, нека си представим, че има някаква точка P в пространството. Нека вземем произволен вектор u¯ в това пространство. Тогава всяка точка Q от линията може да се получи чрез следните математически операции:

Q = P + λ∗u¯.

Тук λ е произволно число, което може да бъде положителни и отрицателни. Ако запишем горното уравнение чрез координати, ще получим следното уравнение на права линия:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Това уравнение се нарича уравнение на права линия във векторна форма. А векторът u¯ се нарича направляващ вектор.

Общото уравнение на линията в равнината

Всеки ученик може да го запише без затруднения. Но по-често уравнението се записва по следния начин:

y = k*x + b.

Където k и b са произволни числа. Числото b се нарича свободен член. Параметърът k е равен на тангенса на ъгъла, образуван от пресичането на линията с абсцисната ос.

Горното уравнение се изразява по отношение на променливата y. Ако го представим в по-общ вид, ще получим следната форма на записване:

A*x + B*y + C = 0.

Лесно е да се покаже, че тази форма на общото уравнение на линията в равнината може лесно да се трансформира в предишната форма. За да направите това, разделете лявата и дясната част на коефициент B и изразете y.

На горната фигура е показана линия, минаваща през две точки.

Права линия в триизмерното пространство

Нека продължим нашето проучване. Разгледахме как уравнението на права линия се дава в равнината в общ вид. Ако приложим формата на записване, дадена в предишната точка от статията, към пространствения случай, ще получим следното? Това е просто - тя вече не е права линия, а равнина. Следващият израз описва равнина, която е успоредна на оста z:

A*x + B*y + C = 0.

Ако C=0, такава равнина минава през оста z. Важно е функция.

Тогава какво ще кажете за общото уравнение на права линия в пространството? За да разберем как да го определим, трябва да запомним нещо. Две равнини се пресичат по определена права линия. Какво означава това?? Само че, че общият уравнението е резултат от решаването на система от две уравнения за равнини. Нека запишем тази система:

• A₁*x + B₁*y + C₁*z + D₁= 0;
• A₂*x + B₂*y + C₂*z + D₂= 0.

Тази система е общото уравнение на права линия в пространството. Обърнете внимание, че равнините не трябва да са успоредни една на друга, т.е. нормалните им вектори трябва да са наклонени под определен ъгъл една спрямо друга. В противен случай системата няма да има решения.

По-горе дадохме векторна форма на уравнението за права линия. Той се използва удобно за решаване на тази система. За да направите това, първо намерете векторното произведение на нормалите на равнините. Резултатът от тази операция ще бъде векторът на правата линия. След това трябва да се изчисли всяка точка, принадлежаща на линията. За тази цел всяка от променливите трябва да бъде настроена на определена стойност, а останалите две променливи се намират чрез решаване на горната система.

Как да преобразуваме векторно уравнение в общо уравнение? Нюансите

Това е действителният проблем, който може да възникне, ако трябва да се напише общото уравнение на права линия, като се използват известните координати на две точки. Нека покажем как се решава този проблем с примера на. Нека координатите на две точки са известни

• P = (x₁, y₁);
• Q = (x₂, y₂).

Уравнението във векторна форма се формулира сравнително лесно. Координатите на насочващия вектор са

PQ = (x₂-x₁, y₂-y₁).

Имайте предвид, че няма значение дали ще извадите координатите на Q от координатите на точка P, векторът само ще промени посоката си към противоположната. Сега вземете която и да е точка и запишете векторното уравнение:

(x, y ) = (x₁, y₁) + λ*(x₂-x₁, y₂-y₁).

За да се напише общото уравнение на правата линия, е необходимо и в двата случая да се изрази параметърът λ. И след това приравнете резултатите към. Имаме

x = x₁+ λ*(x₂-x₁) => λ = (x-x₁)/(x₂-x₁);

y = y₁+ λ*(y₂-y₁) => λ = (y-y₁)/(y₂-y₁) =>

(x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁).

Остава само да отворим скобите и да обърнем всички членове на уравнението към.. едната страна на равенството, да се получи общ израз за линията, минаваща през двете известни точки.

В случая на триизмерна задача алгоритъмът за решаване е валиден, но резултатът е система от две уравнения за равнините.

Проблемът е

Трябва да съставим общо уравнение на линията, която пресича оста x в точка (-3, 0) и която е успоредна на оста y.

Започваме решаването на задачата, като записваме уравнението във векторна форма. Тъй като линията е успоредна на ординатната ос, следният вектор е водещият вектор за тази линия:

u¯ = (0, 1).

Тогава линията ще се запише със следното уравнение:

(x, y) = (-3, 0) + λ∗(0, 1).

Нека сега превърнем този израз в обща форма, като изразим параметъра λ:

• x = -3;
• y = λ.

По този начин всяка стойност на y принадлежи на линията, но само една стойност на x й съответства. Следователно общото уравнение ще има следния вид:

x + 3 = 0.

Проблем с права линия в пространството

Известно е, че две пресичащи се равнини се определят от следните уравнения:

• 2*x + y - z = 0;
• x - 2*y + 3 = 0.

Трябва да намерим векторното уравнение на линията, по която се пресичат тези равнини. Нека продължим.

Както вече беше посочено, общото уравнение на правата линия в три измерения вече е дадено като система от две с три неизвестни. Първо определете посоката на вектора, по който се пресичат равнините. Умножавайки векторно координатите на нормалите към равнините, получаваме:

u¯ = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).

Тъй като умножаването на вектор с отрицателно число обръща посоката му, можем да напишем

u¯ = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).

За да се намери векторен израз за една линия, освен водещия вектор трябва да се знае и някоя точка от тази линия. Намерете, тъй като координатите му трябва да удовлетворяват системата уравнения в условието на задачата. Нека приемем, че за примера x = 0, тогава ще получим:

y = z;

y = 3/2 = 1,5.

Така точката, принадлежаща на правата, има координати:

P = (0, 1,5, 1,5).

Тогава ще получим отговора на тази задача, векторното уравнение на правата линия ще има вида:

(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + λ∗(2, 1, 5).

Правилността на решението може лесно да се провери. Необходимо е да се избере произволна стойност на параметъра λ и да се заместят получените координати на точка от права линия в двете уравнения за равнини, като и в двата случая ще получим идентичност.