Какво е хиперболоид: уравнение, конструкция, общи характеристики

За да улесним читателя да си представи какво представлява хиперболоидът - триизмерен обект - трябва първо да разгледаме едноименната хиперболоидна крива, разположена в двуизмерното пространство.

Хиперболата има две оси: реална, която на тази фигура съвпада с абсцисната ос, и въображаема с ординатната ос. Ако мислено започнем да въртим уравнението на хиперболата около въображаемата ѝ ос, ще видим повърхността на, "забелязан" на кривата, ще образуват един полярен хиперболоид.

Ако започнем да въртим хиперболата около реалната ѝ ос по този начин, всяка от двете "Половините на" кривата ще образува своя отделна повърхност, а заедно с нея ще се нарича двулентов хиперболоид.

Получени чрез завъртане на съответната равнинна крива, те се наричат съответно хиперболоиди на завъртане. Те имат параметри, принадлежащи на завъртяната крива във всички посоки, перпендикулярни на оста на завъртане. В общия случай това не е така.

Уравнение на хиперболоид

В общия случай повърхността може да бъде зададена чрез следните уравнения в декартови координати (x,y,z):

В случай на хиперболоид на завъртане симетрията му по отношение на оста, около която е завъртян, се изразява с равенството на коефициентите a=b.

Характеристики на хиперболоид

Той е насочен към. Знаем, че кривите имат фокуси в равнината - в случая с хиперболата например модулът на разликата в разстоянията от произволна точка на хиперболата до единия и до другия фокус е постоянен по дефиниция, а действителните точки на фокус.

Когато се преместим в триизмерното пространство, дефиницията остава почти непроменена: фокусните точки отново са две точки, а разликата в разстоянията от тях до произволна точка от повърхността на хиперболоида е постоянна. Както се вижда, от промените се появява само третата координата на всички възможни точки, тъй като те вече са дефинирани в пространството. Най-общо казано, определението за фокус е равносилно на определянето на вида на крива или повърхнина: като казваме как са разположени точките на повърхнината по отношение на фокусите, всъщност отговаряме на въпроса какво е хиперболоид и как изглежда.

Струва си да запомните, че хиперболата има асимптоти - прави, към които клоните ѝ клонят в безкрайността. Ако при конструирането на хиперболоид на завъртане мислено завъртим асимптотите заедно с хиперболоида и получим конус в допълнение към хиперболоида, наречен асимптотичен. Съществува асимптотичен конус както за хиперболоидите с един, така и с два наклона.

Друга важна характеристика, налична само за хиперболоид с една кухина, са праволинейните образувания. Както подсказва името, това са линии, които лежат изцяло върху дадена повърхност. Две праволинейни образувания преминават през всяка точка на еднолентов хиперболоид. Те принадлежат съответно към две семейства линии, които се описват със следната система уравнения:

По този начин един едноклетъчен хиперболоид може да бъде съставен от безкраен брой прави линии от две семейства, като всяка линия от едното от тях пресича всички линии от другото. Повърхностите, отговарящи на такива свойства, се наричат линейни; те могат да се построят чрез завъртане на една права линия. Дефиницията чрез взаимното разположение на линиите (праволинейни образувания) в пространството може да послужи и като недвусмислено обозначение на това какво представлява хиперболоидът.

Интересни свойства на хиперболоида

Кривите от втори ред и съответстващите им ротационни повърхности имат интересни оптични свойства, свързани с огнищата. В случая на хиперболоида тя се формулира по следния начин: ако един лъч се пусне от един фокус, той ще се отрази от най-близкия "стени", тя ще поеме в такава посока, че да идва от втори фокус.

Хиперболоиди в живота

Най-вероятно повечето читатели са започнали запознанството си с аналитичната геометрия и повърхнините от втори ред от фантастичния роман на Алексей Толстой "Хиперболоид на инженер Гарин". Въпреки това авторът или не е знаел какво е хиперболоид, или е пожертвал точността в името на артистичността: описаното изобретение според физичните си характеристики е по-скоро параболоид, който събира всички лъчи в един фокус (докато оптичните свойства на хиперболоида са свързани с разсейването на лъчите).

В архитектурата много популярни са т.нар. хиперболоидни конструкции: това са конструкции, които по форма представляват едноколонни хиперболоиди или хиперболични параболоиди. Въпросът е, че само тези ротационни повърхности от втори ред имат прави линии: по този начин огънатата структура може да бъде изградена само от прави греди. Предимството на такива конструкции е способността им да издържат на големи натоварвания, например от вятъра: формата на хиперболоид се използва за изграждане на високи конструкции като телевизионни кули.