Уравнения на равнината. Ъгълът между двете равнини

Равнината, заедно с точката и правата линия, е основният геометричен елемент. Много фигури в пространствената геометрия се конструират с него. В тази статия ще разгледаме по-подробно как да намерим ъгъл между две равнини.

Концепцията за

Преди отколкото да се каже Ъгълът между две равнини трябва да се разбира добре за кой елемент в геометрията става дума. Нека разгледаме терминологията. Равнината е безкрайно множество от точки в пространството, като при свързването им се получават вектори. Последният ще бъде перпендикулярен на един вектор. Обикновено се нарича нормала към равнината.

На горната фигура е показана равнина и два нормални вектора към нея. Виждаме, че и двата вектора лежат на една и съща линия. Ъгълът между тях е 180^o.

Уравненията

Ъгълът между две равнини може да бъде намерен, ако е известно математическото уравнение на въпросния геометричен елемент. Съществуват няколко вида такива уравнения, чиито наименования са изброени по-долу:

• от общ тип;
• вектор;
• в сегменти.

Тези три вида са най-удобни за решаване на различни видове задачи, затова се използват най-често.

Едно уравнение от общ тип е следното:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Тук x, y, z са координатите на произволна точка, принадлежаща на дадената равнина. Параметрите A, B, C и D са числа. Тази форма на записване е удобна, защото числата A, B, C са координати на вектор, нормален към равнината на.

Векторната форма на запис на равнината може да бъде представена, както следва

x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + α*(a₁, b₁, c₁) + β*(a₂, b₂, c₂).

Тук (a₂, b₂, c₂) и (a₁, b₁, c₁) са параметрите на два координатни вектора, които принадлежат на разглежданата равнина. Точка (x₀, y₀, z₀) също лежи в тази равнина. Параметрите α и β могат да приемат независими един от друг и произволни стойности.

Накрая уравнението на равнината в сегменти се представя в следната математическа форма:

x/p + y/q + z/l = 1.

Тук p, q, l са конкретни числа (включително отрицателни). Този вид уравнение е удобно, когато искаме да представим дадена равнина в правоъгълна координатна система, тъй като числата p, q, l показват пресечните точки с осите x, y и z на равнината.

Обърнете внимание, че всеки тип уравнение може да се преобразува във всеки друг тип чрез прости математически операции.

Формулата за ъгъл между 2 равнини

Сега нека разгледаме още нещо. В триизмерното пространство две равнини могат да бъдат подредени само по два начина. Да се пресичат или да са успоредни. Между две равнини ъгълът е това, което е разположено между техните вектори по посока (нормала). При пресичане 2 вектора образуват 2 ъгъла (остър и тъп в общия случай). Предполага се, че ъгълът между равнините е остър. Разгледайте уравнението.

Формулата за ъгъла между две равнини е

θ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|)).

Не е трудно да се досетим, че този израз е пряко следствие от скаларното произведение на нормалните вектори n₁¯ и n₂за въпросните самолети. Модулът на скаларното произведение в числителя показва, че ъгълът θ ще приема стойности само от 0^o до 90^o. Произведението на модулите на нормалните вектори в знаменателя е произведението на техните дължини.

Обърнете внимание, че ако (n₁¯*n₂¯) = 0, равнините се пресичат под прав ъгъл.

Пример за проблем

След като установихме какво се нарича ъгъл между две равнини, решаваме следната задача. Като пример. Затова трябва да изчислим ъгъла между тези равнини:

2*x - 3*y + 4 = 0;

(x, y, z) = (2, 0, -1) + α*(1, 1, -1) + β*(0, 2, 3).

За да решите задачата, трябва да знаете векторите на посоките на равнините. За първата равнина нормалният вектор е n₁¯ = (2, -3, 0). За да намерите нормалния вектор на втората равнина, умножете векторите след параметрите α и β. В резултат на това получаваме вектора: n₂¯ = (5, -3, 2).

За да определим ъгъла θ, използваме формулата от предишната точка. Получаваме:

θ = arccos (|((2, -3, 0)*(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)|*|(5, -3, 2)|)) =

= arccos (19/√(13*38)) = 0,5455 rad.

Изчисленият ъгъл в радиани съответства на 31,26^o. По този начин равнините на проблемните условия се пресичат под ъгъл от 31,26^o.