Как да намерим произведението на матрици. Умножаване на матрици. Скаларно произведение на матрици. Произведението на три матрици

С матрици (таблици с числови елементи) могат да се извършват различни изчислителни операции. Някои от тях са умножение с число, вектор, друга матрица, няколко матрици. Продуктът понякога не работи правилно. Грешен резултат е резултат от непознаване на правилата на изчислителните операции. Нека разгледаме как трябва да се извършва умножението.

Матрица и число

Нека започнем с най-простия - с умножението на таблица с числа по определена стойност. Например имаме матрица A с елементи a_ij (i са номерата на редовете, а j - номерата на колоните) и числото e. Произведението на една матрица от числото e е матрица B с елементи b_ij, която може да се намери по формулата

b_ij = e × a_ij.

Т. е. за да се получи елемент b₁₁ трябва да вземете елемент a₁₁ и го умножете по необходимото число, за да получите b₁₂ Необходимо е да се намери произведението на елемент a₁₂ и числата e и t. д.

Нека решим задача № 1, показана на снимката. За да получите матрица B, просто умножете елементите от A по 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. Записваме тази стойност в матрица B в пресечната точка на колона 1 и ред 1.
2. a₂₁ × 3 = 15. Получихме елемент b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = -6. Получихме елемент b₁₂. Записваме го в матрица B в позицията, в която се пресичат колона номер 2 и ред номер 1.
4. a₂₂ × 3 = 9. Този резултат е елемент b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Поставяме това число в матрицата на мястото на елемент b₁₃.
6. a₂₃ × 3 = -3. Последното получено число е елементът b₂₃.

По този начин получихме правоъгълен масив с числени елементи.

Вектори и условие за матрично произведение

В математиката има такова понятие като "вектор". Този термин означава подреден набор от стойности от₁ към_n. Те се наричат координати на векторното пространство и се записват като колона. Съществува и терминът "транспониран вектор". Компонентите му са подредени в под формата на ред.

Векторите могат да се наричат матрици:

• Колонният вектор е матрица, построена от една колона;
• линейният вектор е матрица, която включва само една линия.

Когато извършвате операции за умножение на матрици, е важно да помните, че има условие за съществуване на произведение. Изчислителното действие A × B може да се извърши само когато броят на колоните в таблица A е равен на броя на редовете в таблица B. Крайната матрица, получена в резултат на изчислението, винаги има броя на редовете в таблица А и броя на колоните в таблица Б.

Когато умножавате, не се препоръчва да пренареждате матриците (множителите). Тяхното произведение обикновено не отговаря на комутативния (пермутативен) закон за умножение, т.е. е. резултатът от операция A × B не е равен на резултата от операция B × A. Това се нарича некомутативност на произведението от матрици. В някои случаи резултатът от умножението A × B е равен на резултата от умножението B × A, t. е. продуктът е комутативен. Матрици, при което е изпълнено равенството A × B = B × A, се наричат пермутативни. Примери за такива таблици можете да намерите по-долу.

Умножение по вектор в колона

Когато се извършва умножение на матрица по вектор-колона, е необходимо да се вземе предвид условието за съществуване на произведението. Броят на колоните (n) в таблицата трябва да е равен на броя на координатите, които съставляват вектора. Резултатът от изчислението е трансформираният вектор. Броят на координатите му е равен на броя на редовете (m) от таблицата.

Как се определят координатите на вектора y, ако има матрица A и вектор x? За изчисленията са създадени формули:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n,

......................................,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n,

където x₁, ..., x_n - координати от вектора x, m - брой редове в матрицата и брой координати в новия вектор y, n - брой колони в матрицата и брой координати във вектора x, a₁₁, a₁₂, ..., a_mn - елементи на матрицата A.

Така, за да получите i-тия компонент на новия вектор, извършете скаларното произведение. i-тият ред на вектора се взема от матрица А и се умножава по наличния вектор x.

Да решим проблем № 2. Произведението на матрицата от вектора може да бъде намерено, защото A има 3 колони, а x се състои от 3 координати. В резултат на това трябва да получим векторна колона с 4 координати. Нека използваме горните формули:

1. Нека да изчислим y₁. 1 × 4 + (-1) × 2 + 0 × (-4). Получената стойност е 2.
2. Нека изчислим y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4). По време на изчислението ще получим 0.
3. Нека изчислим y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (-4). Сумата от произведенията на горните множители е равна на 6.
4. Нека изчислим y₄. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (-4). координатата е равна на -8.

Умножаване на ред на вектор с матрица

Не можете да умножите матрица, състояща се от няколко колони, по ред-вектор. В такива случаи условието за съществуване на продукта. Но е възможно да умножите ред на вектор по матрица. Тази операция за изчисление се извършва, когато броят на координатите във вектора и броят на редовете в таблицата съвпадат. Резултатът от матричното векторно умножение е нов ред вектор. Броят на координатите му трябва да е равен на броя на колоните в матрицата.

Изчисляването на първата координата на нов вектор предполага умножаване на реда на вектора и първия стълб на вектора от таблицата. Втората координата се изчислява по същия начин, но вместо първата векторна колона се взема втората векторна колона. Ето общата формула за изчисляване на координатите

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + ... + a_mkx_m,

където y_k - (k е между 1 и n), m е броят на редовете в матрицата и броят на координатите в x-вектора, n е броят на колоните в матрицата и броят на координатите в y-вектора, a с буквено-цифрови индекси са елементите на матрицата A.

Произведение на правоъгълни матрици

Това изчислително упражнение може да изглежда сложно. Умножаването обаче може да се извърши лесно. Нека започнем с определението. Произведението на матрица A с m реда и n стълба и матрица B с n реда и p стълба е матрица C с m реда и p стълба, където елементът c_ij е произведението от елементите на i-тия ред от таблица А и j-тата колона от таблица Б. По-просто казано, елемент c_ij - е скаларното произведение на i-тия ред на вектора от таблица А и j-тия стълб на вектора от таблица Б.

Сега нека намерим на практика как да намерим произведението на матрици с правоъгълна форма. Нека решим задача 3 за това. Условието за съществуване на продукта е изпълнено. Нека продължим да изчисляваме елементите c_ij:

1. Матрицата C ще се състои от 2 реда и 3 колони.
2. Изчисляване на елемента c₁₁. Това става чрез скаларно произведение на ред номер 1 от матрица А и колона номер 1 от матрица В. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. След това процедирайте по подобен начин, като променяте само редовете, колоните (в зависимост от индекса на елемента).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Елементите се изчисляват. Остава само да направите правоъгълен блок от получените числа.

Умножаване на три матрици: теоретична част

Възможно ли е да се намери произведението на три матрици? Тази операция за изчисление е възможна. Резултатът може да бъде няколко начина. Например има 3 квадратни маси (с еднакъв ред) - A, B и C. За да се изчисли продуктът, е възможно

1. Първо умножете A и B. След това умножете резултата по C.
2. Намерете първо произведението на B и C. След това умножете матрица А с получения резултат.

Ако искате да умножавате правоъгълни матрици, първо се уверете, че тази изчислителна операция е възможна. Трябва да съществуват продукти A × B и B × C.

Стъпковото умножение не е грешка. Съществува такова нещо като "асоциативност на матричното умножение". Този термин означава равенството (A × B) × C = A × (B × C).

Умножение на три матрици: практика

Квадратни матрици

Нека започнем с умножението на малки квадратни матрици. На фигурата по-долу е показан проблем номер 4, който трябва да решим.

Използваме свойството за асоциативност. Нека първо умножим A и B или B и C. Запомнете само едно: не е позволено да разменяте множителите, т.е. е. не може да се умножи B × A или C × B. С това умножение получаваме грешен резултат.

Стъпка за решаване.

Първа стъпка. За да намерим общия продукт, първо умножаваме A по B. За умножението на две матрици ще следваме същите правила като по-горе. Така резултатът от умножението на A и B е матрица D с 2 реда и 2 колони, t. е. Правоъгълен масив от 4 елемента. Намираме ги, като извършим изчислението:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Междинният резултат е готов.

Втора стъпка. Сега умножете матрица D по матрица C. Резултатът трябва да бъде квадратна матрица G с 2 реда и 2 колони. Изчислете елементите:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Така произведението на квадратни матрици води до таблица G с изчислените елементи.

Правоъгълни матрици

Проблем № 5 е показан на фигурата по-долу. Умножете квадратните матрици и намерете решението.

Проверете дали е изпълнено условието за съществуване на продукти A × B и B × C. Редовете на въпросните матрици ни позволяват да умножим. Нека сега пристъпим към решаване на задачата.

Стъпка за решаване.

Първа стъпка. Умножете B по C, за да получите D. Матрицата B съдържа 3 реда и 4 колони, а матрицата C - 4 реда и 2 колони. Това означава, че ще получим матрица D с 3 реда и 2 колони. Изчисляване на елементите. Ето 2 примерни изчисления:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Да продължим да решаваме проблема. В резултат на допълнителни изчисления откриваме стойности на d₂₁, d₂₂, d₃₁ и d₃₂. Тези елементи са съответно 0, 19, 1 и 11. Запишете тези стойности в правоъгълен масив.

Втора стъпка. Умножете A по D, за да получите крайната матрица F. Ще има 2 реда и 2 колони. Нека изчислим елементите:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Съставяне на правоъгълен масив, който е крайният резултат от умножението на три матрици.

Запознаване с директния продукт

Произведението на Кронекер на матрици е доста трудно за разбиране. Той има допълнително наименование - директен продукт. Какво се разбира под този термин?? Да предположим, че имаме таблица А от ред m × n и таблица В от ред p × q. Директното произведение на матрица А върху матрица В е матрица от порядък mp × nq.

Имаме 2 квадратни матрици A, B, които са представени на снимката. Първият от тях се състои от 2 колони и 2 реда, а вторият - от 3 колони и 3 реда. Виждаме, че матрицата, получена от директното произведение, има 6 реда и точно същия брой колони.

Как се изчисляват елементите на нова матрица с помощта на пряко произведение? Отговорът на този въпрос се намира лесно чрез анализ на графиката. Първо попълнете първия ред. Вземете първия елемент от горния ред на таблица А и последователно умножете по елементите от първия ред на таблица Б. След това вземете втория елемент от първия ред на таблица А и го умножете последователно по елементите от първия ред на таблица В. За да запълнят втория ред, те отново вземат първия елемент от първия ред на таблица А и го умножават по елементите на втория ред на таблица В.

Общата матрица, получена чрез пряко произведение, се нарича блокова матрица. Ако анализирате фигурата отново, ще забележите, че нашият резултат се състои от 4 блока. Всички те включват елементите на матрицата B. Освен това елемент от всеки блок се умножава по определен елемент от матрицата A. В първия блок всички елементи се умножават по a₁₁, във втория с₁₂, в третия блок с₂₁, в четвъртата част с₂₂.

Детерминантата на продукта

Когато разглеждаме темата за умножение на матрици, си струва да разгледаме и термина "детерминанта на матрично произведение". Каква е детерминантата? важно е характеристиката на квадратна матрица, определена стойност, която се поставя във връзка с тази матрица. Буквалният запис на детерминантата е det.

За матрица A с две колони и два реда детерминантата се намира лесно. Съществува малка формула, която представлява разликата между продуктите на определени елементи:

det A = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁.

Да разгледаме пример за изчисляване на детерминантата на таблица от втори ред. Съществува матрица A, в която a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 и a₂₂ = 1. За да изчислим детерминантата, използваме формулата

det A = 2 × 1 - 3 × 5 = 2 - 15 = -13.

За матрици 3 × 3 детерминантата се изчислява по по-сложната формула. Тя е дадена по-долу за матрица А:

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

За запомняне на формулата е измислено правилото на триъгълника, което е показано на снимката. Първо се умножават елементите на главния диагонал. Към получената стойност добавете произведенията на елементите, посочени от ъглите на триъгълниците с червени страни. След това извадете произведението на елементите на страничния диагонал и извадете произведенията на елементите, които сочат към ъглите на триъгълниците със сини страни.

Сега нека да поговорим за детерминантата на произведението от матрици. Съществува теорема, която гласи, че този експонент е равен на произведението на детерминантите на коефициентите на коефициентите. Нека видим с пример. Имаме матрица A с елементи a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 и a₂₂ = 1 и матрица B с елементи b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 и b₂₂ = 2. Намерете детерминантите на матриците A и B, произведението на A × B и детерминантата на произведението.

Стъпки за решаване.

Първа стъпка. Изчислете детерминантата на A: det A = 2 × 1 - 3 × 1 = -1. След това изчислете детерминантата на B: det B = 4 × 2 - 5 × 1 = 3.

Втора стъпка. Намерете произведението A × B. Нека означим новата матрица с C. Изчислете елементите му:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Трета стъпка. Да изчислим детерминантата на C: det C = 11 × 7 - 16 × 5 = -3. Нека я сравним със стойността, която би могла да се получи чрез умножение на детерминантите на началните матрици. Числата са идентични. Горната теорема е вярна.

Ранг на продукта

Рангът на една матрица е характеристика, която представя максималния брой линейно независими редове или колони. За да се изчисли рангът, се извършват елементарни трансформации на матрица:

• пренареждането на два успоредни реда;
• е умножаването на всички елементи на даден ред от таблица с число, което не е равно на нула;
• добавяне към елементите на един ред на елементите на друг ред, умножени по определено число.

След елементарните трансформации вижте броя на ненулевите редове. Техният брой е рангът на матрицата. Разгледайте предишния пример. Имаше 2 матрици: A с елементи от a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 и a₂₂ = 1 и B с елементи на b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 и b₂₂ = 2. Ще използваме и матрицата C, получена чрез умножение на. Ако извършим елементарни преобразувания, в опростените матрици няма нулеви редове. Това означава, че както рангът на таблица А, така и рангът на таблица В и рангът на таблица С са 2.

Сега обърнете специално внимание на ранга на произведението от матрици. Съществува теорема, която гласи, че рангът на произведението на таблици, съдържащи числови елементи, не надвишава ранга на нито един от факторите. Това може да се докаже чрез. Нека A е матрица с размер k × s и нека B е матрица с размер s × m. Произведението на A и B е C.

Нека разгледаме фигурата по-горе. Показана е първата колона на матрицата C и нейното опростено записване. Тази колона е линейна комбинация от колоните, включени в матрицата A. По подобен начин всяка друга колона в правоъгълен масив C. По този начин подпространството, образувано от векторите на колоните на таблица C, е в подпространството, образувано от векторите на колоните на таблица A. По тази причина размерността на подпространство № 1 не надвишава тази на подпространство № 2. От това следва, че рангът на колоната на таблица C не надвишава ранга на колоната на таблица A, t. е. r(C) ≤ r(A). Ако разсъждаваме по подобен начин, можем да видим, че редовете на матрицата C са линейни комбинации на редовете на матрицата B. От това следва неравенството r(C) ≤ r(B).

Как да намерим произведението на матрици е доста трудна тема. Тя може лесно да бъде овладяна, но за да се постигне такъв резултат, трябва да се отдели значително време за запомняне на всички съществуващи правила и теореми.