Аналитичен сигнал: понятие, дефиниция, формули и приложения

В математиката и обработката понятието аналитичен сигнал (накратко C, AC) е комплексна функция, която няма отрицателни честотни компоненти. Реалната и въображаемата част на това явление са реални функции, свързани помежду си чрез трансформацията на Хилберт. Аналитичният сигнал е доста често срещано явление в химията, чиято същност е подобна на математическата дефиниция на на тази концепция.

Презентации

Аналитичното представяне на реална функция е аналитичен сигнал, съдържащ оригиналната функция и нейната Хилбертова трансформация. Това представяне улеснява много математически манипулации. Основната идея е, че отрицателните честотни компоненти на трансформацията на Фурие (или спектъра) на реална функция са излишни поради херметичната симетрия на такъв спектър. Тези отрицателни честотни компоненти могат да бъдат изхвърлени без загуба на информация, при условие че вместо това искате да работите със сложна функция. Това прави някои функционални атрибути по-достъпни и улеснява извеждането на техники за модулация и демодулация, като например единична широчина на честотната лента.

Отрицателни компоненти

Докато манипулираната функция няма отрицателни честотни компоненти (т.е. тя все още е аналитична), преобразуването от комплексна обратно в реална е просто въпрос на изхвърляне на въображаемата част. Аналитичното представяне е обобщение на векторната концепция: докато векторът се ограничава до неизменни във времето амплитуда, фаза и честота, качественият анализ на аналитичния сигнал допуска променливи във времето параметри.

Моментната амплитуда, моментната фаза и честотата в някои приложения се използват за измерване и откриване на локални характеристики C. Друго приложение на аналитичното представяне е свързано с демодулацията на модулирани сигнали. Полярните координати удобно разделят ефектите на амплитудната и фазовата (или честотната) модулация и ефективно демодулират някои видове.

Тогава прост нискочестотен филтър с реални коефициенти може да отреже интересуващата ни част. Друга мотивация е да се намали максималната честота, което намалява минималната честота за вземане на проби без изравняване. Честотната промяна не нарушава математическата пригодност на представянето. В този смисъл пониженото преобразуване е все още аналитично. Възстановяването на реалистично представяне обаче вече не е просто въпрос на извличане на реалния компонент. Може да се наложи трансформация с увеличаване на дискретизацията, а ако сигналът е дискретизиран (дискретно време), може да се наложи и интерполация (увеличаване на дискретизацията), за да се избегне припокриване.

Променливи

Понятието е ясно дефинирано за явления с една променлива, която обикновено е времева. Тази времева рамка обърква много начинаещи математици. За две или повече променливи аналитичният C може да бъде дефиниран по различни начини и по-долу са представени два подхода.

Реалната и въображаемата част на това явление съответстват на двата елемента на векторно оценяван еднороден сигнал, както е определено за подобни явления с една променлива. Въпреки това моногенната функция може да бъде разширена до произволен брой променливи по прост начин, като се създаде (n + 1) -измерна векторна функция за случай на сигнали с n променливи.

Трансформация на сигнала

Можете да трансформирате реален сигнал в аналитичен сигнал, като добавите въображаема (Q) компонента, която е хилбертова трансформация на реалната компонента.

Между другото, това не е нещо ново за цифровата обработка. Един от традиционните методи за генериране на едностранна AM лента (SSB), методът на фазиране, включва създаване на сигнали чрез генериране на Хилбертово преобразуване на аудиосигнала в аналогова мрежа от резистори и кондензатори. Тъй като има само положителни честоти, той може лесно да се преобразува в модулиран радиочестотен сигнал само с една странична лента.

Формули за дефиниране

Аналитичният израз на сигнала е холоморфна комплексна функция, дефинирана на границата на горната комплексна полуплоскост. Границата на горната полуплоскост съвпада с рандома, така че C се задава чрез картографирането fa: R → C. От средата на миналия век, когато през 1946 г. Денис Габор предлага използването на този явление за изучаване на постоянната амплитуда и фаза, сигналът е намерил много приложения. Особеността на този феномен е подчертана [Vak96], където е показано, че само качественият анализ на аналитичния сигнал съответства на физическите условия за амплитуда, фаза и честота.

Последни развития

През последните няколко десетилетия се наблюдава интерес към изучаването на многоизмерни сигнали, мотивиран от проблеми, възникващи в области, вариращи от обработка на изображения/видео до многоизмерни осцилационни процеси във физиката, като сеизмични, електромагнитни и гравитационни вълни. Общоприето е, че за правилното обобщаване на аналитичния С (качествен анализ) в случай на множество измерения трябва да се разчита на алгебрична конструкция, която разширява обичайните комплексни числа по удобен начин. Такива конструкции обикновено се наричат хиперкомплексни числа [SKE].

Накрая трябва да е възможно да се конструира хиперкомплексен аналитичен сигнал fh: Rd → S, където е представена някаква обща хиперкомплексна алгебрична система, която естествено разширява всички необходими свойства за получаване на моментната амплитуда и фаза.

Проучване на

В редица документи се разглеждат различни въпроси, свързани с правилният избор хиперкомплексна бройна система, дефиниция на хиперкомплексното преобразуване на Фурие и дробното преобразуване на Хилберт за изследване на моментната амплитуда и фаза. По-голямата част от тази работа се основава на свойствата на различни пространства, като Cd, кватерниони, алгебри на Клирон и конструкции на Кейли-Диксън.

По-нататък ще посочим само някои от трудовете, посветени на изучаването на сигнала в много измерения. Доколкото ни е известно, първите статии за многомерния метод са публикувани в началото на 90-те години на миналия век. Те включват работата на Ел [Ell92] върху хиперкомплексните трансформации; работата на Бюлов върху обобщаването на метода на аналитичната реакция (аналитичен сигнал) за много измерения [BS01] и работата на Фелсберг и Зомер върху моногенните сигнали.

Допълнителни перспективи

Очаква се хиперкомплексният сигнал да разшири всички полезни свойства, които имаме в едноизмерния случай. На първо място трябва да можем да извлечем и обобщим моментната амплитуда и фаза до размерите. На второ място, спектърът на Фурие на комплексен аналитичен сигнал се поддържа само при положителни честоти, така че бихме очаквали хиперкомплексното преобразуване на Фурие да има своя хипервалентен спектър, поддържан само в някой положителен квадрант на хиперкомплексното пространство. Ето защо е много важно.

Трето, конюгираните части на комплексен аналитичен сигнал са свързани с трансформацията на Хилберт и можем да очакваме, че конюгираните компоненти в хиперкомплексното пространство също трябва да бъдат свързани с някаква комбинация от трансформацията на Хилберт. И накрая, наистина, един хиперкомплексен сигнал трябва да се дефинира като разширение на някоя хиперкомплексна холоморфна функция на няколко хиперкомплексни променливи, дефинирана на границата на някоя форма в хиперкомплексното пространство.

Решаваме тези задачи в последователен ред. Първо започваме с разглеждането на интегралната формула на Фурие и показваме, че трансформацията на Хилберт към 1-D е свързана с модифицирана интегрална формула на Фурие. Този факт ни позволява да определим моментната амплитуда, фазата и честотата, без да се позоваваме на хиперкомплексни системи за записване и холоморфни функции.

Модификация на интеграли

Продължаваме, като обобщаваме модифицираната интегрална формула на Фурие за няколко измерения и определяме всички необходими компоненти с фазово изместване, които можем да съберем в моментна амплитуда и фаза. Второ, обръщаме се към въпроса за съществуването на холоморфни функции на няколко хиперкомплексни променливи. Следвайки [Sch93], ние откриваме, че комутативна и асоциативна хиперкомплексна алгебра, генерирана от набор от елиптични (e2i = -1) генератори, е подходящо пространство за живот на хиперкомплексния аналитичен сигнал, наричаме такава хиперкомплексна алгебра пространство на Шефърс и я обозначаваме с Sd.

Следователно хиперкомплексът на аналитичните сигнали се дефинира като холоморфна функция на границата на полидиск/горната полуплоскост в някакво хиперкомплексно пространство, което наричаме общо пространство на Шефърс и обозначаваме с Sd. След това наблюдаваме валидността на интегралната формула на Коши за функциите Sd → Sd, които се изчисляват върху хиперповърхността във вътрешността на полидиска в Sd, и извеждаме съответните дробни трансформации на Хилберт, които свързват хиперкомплексните конюгирани компоненти. Накрая се оказва, че трансформацията на Фурие със стойности в пространството на Шефер се поддържа само при неотрицателни честоти. Благодарение на тази статия научихте какво е аналитичен сигнал.