Формула на блек-скоулс: определение, методи на изследване и пример за изчисление

История и същност

Въз основа на работата, разработена преди това от изследователи на пазара и практици като Луи Башелие, Шин Касуф и Ед Торп, Фишър Блек и Майрон Скоулс демонстрират в края на 60-те години, че динамичните ревизии на портфейла елиминират очакваната възвръщаемост на.

През 1970 г., след като се опитват да приложат формулата на пазарите и претърпяват финансови загуби поради липсата на управление на риска в професиите си, те решават да се съсредоточат в своята област - академичните среди. След тригодишни усилия формулата, кръстена на тяхното обнародване, най-накрая е публикувана през 1973 г. в статия, озаглавена "Ценообразуване на опции и корпоративни задължения" в Journal of Political Economy. Робърт С. Мертън е първият, който публикува статия, разширяваща математическото разбиране за модела за ценообразуване на опции, и въвежда термина "модел за ценообразуване на Блек-Скоулс".

Мертън и Скоулс получават Нобеловата награда за икономически науки за 1997 г., като комитетът посочва откритието им за динамична ревизия, независима от риска, като пробив, който отделя опцията от основния риск на ценните книжа. Въпреки че не получава наградата поради смъртта си през 1995 г., Блек е споменат от шведски академик като автор на. На картинката по-долу можете да видите типична формула за изчисление на Black-Scholes.

Опции

Основната идея на този модел е да се хеджира опцията чрез правилна покупка и продажба на базовия актив и в резултат на това да се елиминира рискът. Този тип Хеджирането се нарича "непрекъснато актуализирано хеджиране на делта". Той е в основата на по-сложни стратегии, като например тези, използвани от инвестиционните банки и хедж фондовете.

Управление на риска

Предположенията на модела са били смекчени и обобщени в много направления, което е довело до създаването на различни модели, които понастоящем се използват при ценообразуването на деривати и управлението на риска. Разбирането на модела, както е показано във формулата на Блек-Скоулс, често се използва от участниците на пазара, за разлика от действителните цени. Те включват липса на арбитражни ограничения и независимо от риска ценообразуване (поради непрекъснатия преглед). Освен това уравнението на Блек-Скоулс, частично производно уравнение, което определя цената на опцията, позволява цените да се определят чрез числени методи, когато не е възможно да се използва явна формула.

Променливост

Формулата на Блек-Скоулс има само един параметър, който не може да бъде наблюдаван пряко на пазара: средната бъдеща променливост на базовия инструмент, въпреки че тя може да бъде изведена от цената на други опции. Тъй като стойността на даден параметър (независимо дали е "put" или "call") се увеличава в този параметър, той може да бъде инвертиран, за да се получи "повърхност на волатилността", която след това се използва за калибриране на други модели, като например извънборсови деривати.

Като се имат предвид тези предположения, нека приемем, че на този пазар се търгуват и деривативни ценни книжа. Уточняваме, че ценната книга ще има определено изплащане на определена дата в бъдеще, в зависимост от стойността, която акцията е придобила до тази дата. Изненадващо е, че цената на деривата е напълно определена в момента, въпреки че не знаем какъв път ще поеме цената на акциите в бъдеще.

За специалния случай на европейския вариант "обадете се на" или "поставете" Блек и Скоулс са показали, че е възможно да се създаде хеджирана позиция, състояща се от дълга позиция в акция и къса позиция в опция, чиято стойност не зависи от цената на акцията. Тяхната динамична стратегия за хеджиране доведе до уравнение за частични производни, което определи цената на опцията. Нейното решение се дава чрез формулата на Блек-Скоулс.

Разликата на сумарните стойности

Формулата на Блек-Скоулс за Excel може да се интерпретира, като първо се разбие опцията "опция за покупка" за разликата между две бинарни опции. опция "обадете се на" обмени пари в брой срещу актив при изтичане на срока, докато кол активът със или без актив просто дава актива (без пари в замяна), и "обадете се на" при безналичен сетълмент просто се връщат парите (без размяна на актива). Формулата на Блек-Скоулс за опция е разликата на две суми, а тези две суми са равни на стойността на бинарните кол опции. Тези бинарни опции се продават много по-рядко от ваниловите опции, но са по-лесни за анализиране.

В практиката някои чувствителности обикновено се дават в съкратен вид, за да съответстват на мащаба на вероятните промени в параметрите. Например, често се отчита rho, разделено на 10000 (промяна с 1 базисен пункт), vega на 100 (промяна с 1 пункт обем) и theta на 365 или 252 (еднодневни спадове, базирани на календарни дни или дни за търговия в годината).

Описаният по-горе модел може да бъде разширен за променливи (но детерминирани) лихвени проценти и волатилност. Моделът може да се използва и за оценка на опции за европейски дивидентни инструменти. В този случай са налице затворени решения, ако дивидентът е известна част от цената на акцията. Американските опции и опциите за акции, които плащат известен паричен дивидент (в краткосрочен план по-реалистичен от пропорционалния дивидент), са по-трудни за оценяване и има избор от методи за решаване (напр. мрежи и мрежи).

Приближаване

Полезна апроксимация: въпреки че волатилността не е постоянна, резултатите от модела често помагат да се определят правилните пропорции на хеджиране, за да се сведе до минимум рискът. Дори резултатите да не са напълно точни, те служат за първо приближение, в което могат да се направят корекции.

Основа за по-усъвършенствани модели: моделът на Black-Scholes е стабилен в смисъл, че може да бъде коригиран, за да се справи с някои от своите недостатъци. Вместо да разглеждаме някои параметри (като волатилност или лихвени проценти) като константи, ние ги разглеждаме като променливи и по този начин добавяме източници на риск.

Това е отразено в гръцките (промяна на стойността на опцията за промяна на на тези параметри или еквивалентни на частични деривати върху тези променливи), а хеджирането на тези "гърци" намалява риска, причинен от променливия характер на тези параметри. Други недостатъци обаче не могат да бъдат отстранени чрез промяна на модела, особено рискът от намаляване на риска и ликвидният риск, и вместо това се управляват извън модела, главно чрез минимизиране на тези рискове и стрес тестове.

Явно моделиране

Експлицитно моделиране: тази функция означава, че вместо да се приема априори променливостта и да се изчисляват цените въз основа на нея, може да се използва модел за определяне на променливостта, който дава предполагаемата променливост на опцията при дадени цени, условия и цени на изпълнение. Чрез решаване на проблема с променливостта за даден набор от продължителности и цени на изпълнение може да се начертае повърхността на предполагаемата променливост.

При това приложение на модела на Блек-Скоулс се получава координатна трансформация от областта на цената към областта на променливостта. Вместо да се определят цените на опциите в долари за единица (които е трудно да се сравняват при различни варианти на изпълнение, продължителност и честота на купона), цените на опциите могат да се определят по отношение на предполагаемата променливост, което води до търговия с променливост на пазарите на опции.