Закон на максуел. Разпределение на скоростта на максуел

Изследването на свойствата на газообразното агрегатно състояние на материята е една от важните области на съвременната физика. При разглеждане на газовете в микроскопичен мащаб можете да получите всички макроскопични параметри на системата. В тази статия ще бъде разкрит важен въпрос от молекулно-кинетичната теория на газовете: какво е разпределението на скоростта на молекулите по Максуел.

Исторически очерк

Идеята за газа като система, състояща се от микроскопични, движещи се частици, датира от Древна Гърция. Науката го разработва повече от 1700 години.

Даниел Бернули с право се смята за основоположник на съвременната молекулно-кинетична теория (МКТ) на газа. През 1738 г. той публикува статия, наречена "Хидродинамика". В него Бернули излага идеите на MCT, които се използват и днес. Ученият смята, че газовете се състоят от частици, които се движат хаотично във всички посоки. Многобройните сблъсъци на частиците със стените на съда се разглеждат като наличие на налягане в газовете. Скоростите на частиците са тясно свързани с температурата на системата. Учените не приемат смелите идеи на Бернули, тъй като законът за запазване на енергията все още не е установен.

Впоследствие много учени работят върху създаването на кинетичен модел на газовете. Сред тях се откроява Рудолф Клаузиус, който през 1857 г. създава прост газов модел. В него ученият обръща специално внимание на съществуването на транслационни, ротационни и вибрационни степени на свобода в молекулите.

През 1859 г., докато изучава работата на Клаузиус, Джеймс Максуел формулира така нареченото Максуелово разпределение на скоростта на молекулите. По същество Максуел потвърждава идеите на MLC, като ги подкрепя с математически апарат. По-късно Лудвиг Болцман (1871 г.) обобщава резултатите от разпределението на Максуел. Той постулира по-общо статистическо разпределение на скоростите и енергиите на молекулите. Сега то е известно като разпределение на Максуел-Болцман.

Идеалният газ. Основни постулати на MCT

За да се разбере какво представлява функцията на разпределение на Максуел, е необходимо ясно да се разберат системите, за които се прилага тази функция. Той е идеален газ. Във физиката това понятие се отнася до течно вещество, което се състои от почти безразмерни частици без потенциална енергия. Тези частици се движат с големи скорости, така че поведението им се определя изцяло от кинетичната енергия. Освен това разстоянията между частиците са твърде големи в сравнение с техните размери, така че последните се пренебрегват.

Идеалните газове се описват в рамките на MCT. Основните му постулати са следните:

• газовите системи се състоят от огромен брой свободни частици;
• частиците се движат хаотично с различни скорости в различни посоки по прави траектории;
• частиците се сблъскват еластично със стените на съдовете (вероятността частиците да се сблъскат една с друга е малка поради малкия им размер);
• температурата на системата се определя еднозначно от средната кинетична енергия на частиците, която се запазва във времето, ако в системата е установено термодинамично равновесие.

Закон за разпределение на Максуел

Ако притежаваме уред, с който можем да измерим скоростта на една молекула газ, бихме се изненадали от подходящ експеримент. Експериментът щеше да покаже, че всяка молекула във всяка газова система се движи с напълно произволна скорост. Така в рамките на една система, която е в топлинно равновесие с околна среда, ще бъдат открити както много бавни, така и много бързи молекули.

Законът на Максуел за разпределението на скоростта на газовите молекули е инструмент, който позволява да се определи вероятността за намиране на частица с дадена скорост v в изследваната система. Съответната функция е следната:

f(v) = (m/(2*pi*k*T))^3/2*4*pi*v²*exp(-m*v²/(2*k*T)).

В този израз m е масата на частицата (молекулата), k е константата на Болцман, T - абсолютна температура. Така, ако е известна химическата природа на частиците (стойността на m), функцията f(v) се определя еднозначно от абсолютната температура. Функцията f(v) се нарича плътност на вероятността. Ако вземем от него интеграла за някаква граница на скоростите (v; v+dv), ще получим броя на частиците N_i, които имат скорости в даден интервал. Съответно, ако вземем интеграла на плътността на вероятността f(v) в границата на скоростта от 0 до ∞, ще получим общия брой молекули N в системата.

Графично представяне на функцията на плътността на вероятността f(v)

Функцията на плътността на вероятността има малко по-сложна математическа форма, така че не е лесно да се покаже нейното поведение при дадена температура. Този проблем може да бъде решен, ако го изобразим на двуизмерна графика. Схематичен вид на графиката на разпределение на Максуел е показан на фигурата по-долу.

виждаме, че тя започва от нула, защото скоростта v на молекулите не може да има отрицателни стойности. Графиката завършва някъде в областта на високите скорости, като плавно се понижава до нула (f(∞)->0). Прави впечатление също така, че гладката крива е асиметрична и намалява по-стръмно при по-ниски скорости.

Важна особеност на поведението на функцията на плътността на вероятността f(v) е наличието на един отчетлив максимум върху нея. Според физическото значение на функцията този максимум съответства на най-вероятната стойност на скоростите на молекулите в газовата система.

Важни видове скорости за функцията f(v)

Функцията на плътността на вероятността f(v) и нейното графично представяне ни позволяват да определим три важни скорости.

Първият вид скорост, който е очевиден и който беше споменат по-горе, е най-вероятната скорост v₁. На графиката неговата стойност съответства на максимума на функцията f(v). Именно тази скорост и стойности, близки до нея, ще имат повечето частици в системата. Изчисляването му не е трудно, просто вземете първата производна на функцията на скоростта f(v) и я приравнете към нула. В резултат на извършването на посочените математически операции получаваме крайния резултат:

v₁ = √(2*R*T/M).

Тук R е универсалната газова константа, M е моларната маса на молекулите.

Вторият вид скорост е нейната средна стойност за всички N частици. Означаваме го с v₂. Тя може да се изчисли чрез интегриране на функцията v*f(v) за всички скорости. Резултатът от това интегриране е следната формула:

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)).

Тъй като съотношението 8/pi>2, тогава средната скорост винаги е малко по-висока от най-вероятната.

Всеки човек, който знае поне малко за физиката, разбира, че средната скорост v₂ на молекулите трябва да има голяма стойност в газовата система. Въпреки това това е погрешна преценка. Много по-важна е средната квадратна скорост. Означаваме го с v₃.

По дефиниция средната квадратна скорост е сумата от квадратите на отделните скорости на всички частици, разделена на броя на тези частици и взета като квадратен корен. За да го изчислим за разпределението на Максуел, можем да определим интеграла на всички скорости от функцията v²*f(v). Формулата за средната квадратична скорост ще има следния вид

v₃ = √(3*R*T/M).

Равенството показва, че тази скорост е по-голяма от стойността v₂ и v₁ за всяка газова система.

По този начин всички разглеждани типове скорости се намират в екстремума на графиката на разпределението на Максуел или вдясно от него.

Значението на v3

По-горе беше отбелязано, че средната квадратична скорост е по-важна за разбирането на физичните процеси и свойствата на една газова система, отколкото простата средна скорост v₂. Това е вярно, тъй като кинетичната енергия на идеалния газ зависи от стойността на v₃, а не v₂.

Ако разглеждаме едноатомен идеален газ, за него е валиден следният израз

m*v₃²/2 = 3/2*k*T.

Тук всяка част от уравнението представлява кинетичната енергия на една частица с маса m. Защо стойността на v в израза₃, а не средната скорост v₂? Много просто: при определянето на кинетичната енергия на всяка частица нейната индивидуална скорост v се приема като квадрат, след което всички скорости се събират и се разделят на броя на частиците N. Това означава, че самата процедура за определяне на кинетичната енергия води до средна квадратна скорост.

Зависимост на функцията f(v) от температурата

По-горе установихме, че функцията на плътността на вероятността на скоростите на молекулите зависи еднозначно от температурата. Как ще се промени функцията, ако увеличим или намалим стойността на T? За да отговорите на този въпрос, използвайте графиката по-долу.

виждаме, че загряването на затворена система води до разпространение на върха и изместването му към по-високи скорости. Увеличаването на температурата води до увеличаване на всички скорости и до намаляване на плътността на вероятността за всяка от тях. стойността на пика намалява поради запазването на броя на частиците N в затворена система.

След това ще решим няколко задачи, за да затвърдим получените теоретични знания.

Проблем с молекулите на азота във въздуха

Необходимо е да се изчисли скоростта v₁, v₂ и v₃ за въздушен азот при 300 K (около 27 ^oC).

Моларна маса на азота N₂ е 28 g/mol. Като използваме горните формули, получаваме

v₁ = √(2*R*T/M) = √(2*8,314*300/0,028) = 422 m/s;

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)) = √(8*8,314*300/(3,14*0,028)) = 476 m/s;

v₃ = √(3*R*T/M) = √(3*8,314*300/0,028) = 517 m/s.

Проблем с кислорода в цилиндър

Кислородът в цилиндър е с определена температура T₁. След това цилиндърът се поставя в по-студено помещение. Как ще се промени графиката на разпределение на скоростта на Максуел за молекулите на кислорода, когато системата достигне термодинамично равновесие?

Като се позоваваме на теорията, можем да отговорим на въпроса на задачата по следния начин: стойностите на всички видове скорости на молекулите ще намалеят, пикът на функцията f(v) ще се измести наляво, ще стане по-тесен и по-висок.